轴对称知识点总结：性质、图形绘制及难点解析

轴对称知识要点归纳：由徐长明执笔撰写，张扬负责审阅，孙景艳担任编辑。一、学习目标：通过具体案例，让学生认识轴对称，探究其基本特性，理解对应点连线段被对称轴垂直平分的性质；能够按照要求绘制出简单平面图形经过一次或两次轴对称变换后的图形；探究简单图形间的轴对称联系，并能指出对称轴；欣赏生活中存在的轴对称图形，结合现实生活中的典型例子，了解并欣赏物体的镜面对称。关键点：首先，理解轴对称的定义及其相关特性；其次，关注基本图形（例如线段、角）的轴对称属性；难点在于深入探究并熟练掌握轴对称的性质。其次，对知识要点进行梳理：知识点一涉及轴对称图形与对称轴的概念，具体来说，一个图形若能沿某条直线对折，使得折叠后的两侧部分完全重合，则该图形即为轴对称图形。

该直线便是其对称轴。关键在于，首先需有一个图形，并且该图形需满足以下两个条件：存在一条直线作为对称轴；将图形沿此直线折叠后，折叠线两侧的部分能够完全吻合。此外，还需注意，轴对称图形的对称轴为直线，且不一定仅有一条，可能存在两条或更多。如图所示：知识点二：轴对称与对称点。轴对称的定义是，将一个图形沿某条直线折叠，若其能与另一图形完全重合，则称这两个图形关于该直线对称，或称它们成轴对称。这条直线被称为对称轴。折叠后重合的点称为对应点，亦称对称点。关键在于，前提是两个图形；存在一条直线；两个图形沿此直线对折后能够完全重合。还需注意，成轴对称的两个图形必定全等；与轴对称图形的区别在于，它指的是两个图形，而轴对称图形则是指单个图形。

首先，必须有一个图形作为基础；对于两个轴对称的图形，除了它们可能完全相同之外，它们之间还存在着特定的相对位置，如图中所示。知识点三：关于轴对称及其图形，我们可以了解到：1、它们之间可以相互转换：将两个轴对称的图形视为一个整体，那么这个整体就是一个轴对称图形；反之，如果我们把轴对称图形的对称轴两侧的部分各自视为一个图形，那么这两个图形便相对于这条直线（即原来的对称轴）呈现出对称关系。2、轴对称及其图形的性质包括：（1）性质一：如果两个图形在某条直线上对称，那么这条对称轴就是任何一对对应点连线的垂直平分线；注：那条经过线段中点并且垂直于该线段的直线，被称为该线段的垂直平分线，也称作线段的中垂线。性质一的证明如下：如图所示，图形ABC与图形A'B'C'关于直线l对称，其中点A与A'是对应的对称点，设直线l与对称轴相交于点P。

当C点沿直线l进行折叠，A点与之重合时，可以得出1等于2等于90度，即对称轴垂直平分了线段，同样，它也垂直平分了线段AB和CD。因此，我们得出性质1（2）和性质2：轴对称图形的对称轴同时也是任何一对对应点连线段的垂直平分线。证明方法与性质1类似。小结：无论是性质1还是性质2，它们所指的都为：只要两个点在某条直线上对称，那么这条直线（即对称轴）就是这两个点连线的垂直平分线。也就是说，这两条性质所揭示的是对称点与对称轴之间的关系，同时也揭示了轴对称（轴对称图形）的本质。知识点四：线段的垂直平分线1、性质1：线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离是相等的；证法一：如图所示，l是线段AB的垂直平分线，P为l上任意一点。若将AB沿着l进行对折，A点和B点必然重合，同时，PA和PB的长度也应相等。

如果在直线l上再选取一个点，那么连接该点与A、B两点的线段也应该相交于同一点，即这两个线段分别对应着相等的长度。据此，我们可以得出性质1的另一种证明方法：首先，观察图形，直线l垂直平分线段AB，因此AO等于BO，且∠1等于∠2。又因为PO等于PO（公共边），所以直角三角形PAORtPBO满足SAS（边角边）条件，从而得出PA等于PB，即性质1得以证明。其次，关于性质2的探究，如图所示，我们作直线PC垂直于AB于点C，那么在直角三角形PAC和PBC中，PA等于PB，PC等于PC，且∠PAC等于∠PBC，因此直角三角形PAC和PBC全等，从而得出AC等于BC。由于PC垂直平分AB，所以点P位于线段AB的垂直平分线上。最后，小结如下：（1）从上述两个结论可以明显看出，位于线段AB垂直平分线上的任意一点，与点A和点B的距离是相等的。

B两点间的距离相同；反之，与点A、B等距的点均位于线段AB的垂直平分线上。综合这两点，我们可以得出结论：线段的垂直平分线可以被视为所有与线段两端点等距点的集合。线段垂直平分线的两个性质发挥着不同的作用，其中性质一指的是线段的垂直和平分性质，我们可以利用这一性质来证明线段长度相等的问题；而性质二实际上是关于线段垂直平分线的判定。知识点五：对称轴的作法包括以下两点：一、如果两个图形是轴对称的，那么它们的对称轴就是任何一对对应点连线段的垂直平分线。因此，只要找到一对对应点，并画出连接它们的线段的垂直平分线，就能得到这两个图形的对称轴。二、例如，若A、B两点关于某条直线对称，则连接AB，并作出线段AB的垂直平分线，即为A、B两点的对称轴。

轴的绘制方法如下：首先，以点A、B分别为圆心，以大于AB长度的长度为半径绘制弧线（若两弧的半径小于或等于AB，则这两弧要么没有交点，要么仅在一点相切），弧线在C、D两点相交；接着，连接C、D两点，形成直线CD，这条直线CD即为所求的对称轴，如图所示。3、说明：绘制对称轴的方法，即是绘制线段的垂直平分线的方法，通过这种方法可以确定线段的中点，即实现将线段平分的知识点。六：轴对称变换1、从某一平面图形出发，通过某条直线将其对称的图形绘制出来，这一过程被称为轴对称变换。2、注意事项：（1）对一个图形进行轴对称变换（即绘制一个图形关于某条直线的对称图形）的关键是找出这条直线上的关键点（即某些点）的对称点，例如：绘制点A关于直线l的对称点，首先作出AO垂直于直线l于点O；然后延长AO至使得OA的长度等于AO的长度，那么延长后的点就是A关于直线l的对称点，如下图所示：

首先，需作出经过已知点的对称轴的垂线，从而得到一条垂线段；接着，将此垂线段延长至其长度的一倍，该延长线段的终点即为已知点相对于该直线（即对称轴）的对称点。同样地，任意一个轴对称图形都可以视为另一个图形通过轴对称变换所生成的，反之亦然，一个轴对称图形也可以视为是以其一部分为起点，通过轴对称变换扩展而成的。通过结合轴对称变换和平移变换，我们可以创造出许多优美的图案，如图中所示。在知识点七中，我们学习如何用坐标来表示轴对称：1、若已知点P的坐标，那么它关于x轴的对称点的坐标可由下式得出，如下图所示：即关于x轴对称的两点，其坐标之间的关系是：横坐标保持不变，而纵坐标则互为相反数。2、关于y轴对称的两点，其横坐标（或纵坐标）之间的关系是：横坐标（或纵坐标）互为相反数。

已知某点P的坐标，那么它相对于y轴的对称点坐标可按如下方式确定：观察图形可知，关于y轴对称的两点，它们的纵坐标保持一致，而横坐标则是彼此的相反数。特别提醒，利用这一性质，我们能够在平面直角坐标系中绘制出与已知图形关于x轴或y轴对称的新图形。此外，对于与x轴（y轴）平行的直线而言，对称的两点坐标之间存在以下关系：点P关于该直线的对称点坐标可证明如下：如图所示，设对称点坐标为，根据题意，有，从而，故横坐标互为相反数。同理，可推导出其他相关结论。关于轴对称变换，我们从一平面图形出发，可以构造出它的轴对称图形，这个过程称为轴对称变换。轴对称变换生成的两个图形中，任取其一，都可以视为是另一个图形经过轴对称变换后得到的。轴对称变换的性质包括：①经过轴对称变换，图形的形状和大小保持不变。

10、可互换的图形与原始图形在形状和尺寸上完全一致。首先，通过轴对称变换得到的图形，其上的每一个点都对应原图形中某一点，且该点位于对称轴的对称位置。其次，连接任意一对对称点的线段均被对称轴垂直且等分。绘制一个图形关于某条直线进行轴对称的步骤包括：首先，绘制出关键点或特殊点的对称点；接着，按照原图形的连接方式，将这些对称点连接起来，从而得到原图形的轴对称图形。此外，点P（x，y）关于x轴的对称点坐标为（x，-y）；关于y轴的对称点坐标为（-x，y）；关于原点的对称点坐标为（-x，-y）。对于点P（x，y）而言，其关于直线x=m的对称点坐标为（2m-x，y）；关于直线y=n的对称点坐标为（x，2n-y）。6 / 66 / 6