高一数学知识点总结：正视图、俯视图、侧视图及斜二测画法要点

正视图展示了物体在垂直和水平方向上的布局，从而揭示了物体的高度与长度。

俯视图展示了物体在左右以及前后方向上的布局，这实际上揭示了物体的长与宽。

从侧面观察可以呈现物体在垂直和水平方向上的相对位置，从而揭示了其高度与宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法的显著特征包括：首先，原本与x轴保持平行的线条在绘制时依旧保持与x轴的平行关系，并且其长度保持不变。

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

高一数学知识点总结(四)

几何定理

1 过两点有且只有一条直线

2 两点之间线段最短

3 同角或等角的补角相等

4 同角或等角的余角相等

5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

在直线之外选定一个点，能够并且仅能画出一条直线与既定直线保持平行状态。

8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9 同位角相等，两直线平行

10 内错角相等，两直线平行

11 同旁内角互补，两直线平行

12 两直线平行，同位角相等

13 两直线平行，内错角相等

14 两直线平行，同旁内角互补

15 定理 三角形两边的和大于第三边

16 推论 三角形两边的差小于第三边

17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°

18 推论1 直角三角形的两个锐角互余

19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21 全等三角形的对应边、对应角相等

边角边公理（SAS）表明，若两个三角形各自拥有相等的两边及它们之间的夹角，则这两个三角形必定完全相同。

角边角公理，即asa原则，指出若两个三角形各自有两个角及其夹边相等，则这两个三角形必定全等。

若两个三角形中，存在两个角及其对应边相等，则这两个三角形完全相同。

25 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等

若两个直角三角形分别具有相等的斜边和一条直角边，则这两个三角形必定全等。

27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

在某个角的两侧等距离的点，必然位于该角的角平分线上。

29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

等腰三角形的性质定理指出，该三角形的两个底角是相等的，这也就是所谓的等边对应等角原则。

31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

等腰三角形的顶角平分线、底边中点连线以及从顶点垂直到底边的线段，三者完全重合。

推论3指出，在等边三角形中，所有的内角均等，且每个内角的度数均为六十度。

在等腰三角形的判定中，若三角形中存在两个角度相等的角，则这两个角所对应的边长也将相等，即所谓的等角对等边原则。

35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形

36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

在直角三角形里，若其中一个锐角是30度，那么该锐角所对应的直角边长度将是斜边长度的一半。

38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

该定理指出，位于线段垂直平分线上的任意一点，与线段两端点的距离都是相等的。

若某点与线段两端等距，则该点必位于该线段的垂直平分线上。

线段的垂直平分线可以被视作这样一个集合，其中包含了所有与线段两端点等距离的点。

42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形

若两个图形沿某条直线呈对称关系，则该直线即为连接对应点的线段的垂直平分线。

定理三：若两个图形沿某条直线对称，那么，若它们的对应边或其延长线相交汇，则该交点必定位于对称轴之上。

若两个图形的对应点连线均被一条直线垂直且等分，则这两个图形相对于该直线呈现对称性。

勾股定理指出，在一个直角三角形中，两条直角边a和b的长度平方之和，恰好等于斜边c的长度平方，这可以表示为a的平方加b的平方等于c的平方。

若三角形的三边长度a、b、c满足条件a的平方加上b的平方等于c的平方，则该三角形必定是直角三角形。

48 定理 四边形的内角和等于360°

49 四边形的外角和等于360°

50多边形内角和定理指出，一个n边形的内角总和可以表示为(n-2)乘以180度。

51 推论 任意多边的外角和等于360°

52 平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等

53 平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等

54 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等

55 平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分

若一个四边形的两组对角线分别相等，则该四边形为平行四边形。

若一个四边形的两组对边各自相等，则该四边形可被认定为平行四边形。

平行四边形判定定理三指出，如果一个四边形的对角线彼此相等且互相平分，那么这个四边形必定是平行四边形。

平行四边形的判定定理四指出，如果一个四边形的相对两边既平行又相等，那么这个四边形就是平行四边形。

60 矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角

61 矩形性质定理2 矩形的对角线相等

62 矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形

63 矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形

64 菱形性质定理1 菱形的四条边都相等

菱形的性质第二点指出，其两条对角线彼此成直角相交，并且每一条对角线都将相邻的两个角各自等分。

66 菱形面积=对角线乘积的一半，即s=(a×b)÷2

67 菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形

68 菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

正方形具有四个直角，并且其四条边等长。

正方形性质定理二指出，正方形的两条对角线长度相等，并且它们彼此成直角相交，同时每一条对角线都将正方形的一组对角等分。

71 定理1 关于中心对称的两个图形是全等的

定理二：针对那些中心对称的图形，它们之间的对称点所连成的线段必然穿过对称中心，并且该线段还会被对称中心所等分。

若两个图形的对应点连线均穿过一个特定点，且该点将每条连线等分，则这两个图形相对于该点呈现对称关系。

74 等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等

75 等腰梯形的两条对角线相等

在同一底边上的两个角若相等，则该梯形可被认定为等腰梯形。

77 对角线相等的梯形是等腰梯形

平行线等分线段定理指出，当一组平行线在某一直线上截取的线段长度相同，这一性质在它们截取其他直线时依然保持，即在这些直线上的截取线段也将保持等长。

若从梯形一腰的中点引出一条与底边平行的直线，则该直线必定会将另一腰等分。

若一条直线穿过三角形某一边的中点，并且与另一边平行，那么这条直线必定会将第三边等分。

三角形的中位线与第三边平行，同时其长度恰好是第三边长度的一半。

梯形的中位线与梯形的两底边平行，且其长度恰好是两底边长度之和的一半，即中位线的长度为(l)等于(a+b)除以2的结果。根据梯形中位线定理，梯形的面积(s)可以通过中位线长度乘以梯形的高(h)来计算，即(s)等于(l)乘以(h)。

比例的根基特性表明，若a与b的比例等于c与d的比例，则a乘以d的积等于b乘以c的积；反之，若a乘以d的积等于b乘以c的积，则可以推断出a与b的比例等于c与d的比例。

当存在等式a除以b等于c除以d时，那么可以推导出(a加减b)除以b的结果，等于(c加减d)除以d的结果。

若存在等比关系，即a与b、c与d、以此类推，直到m与n之间均满足a/b=c/d=…=m/n（同时确保b+d+…+n的和不等于零），则可以得出结论：(a+c+…+m)除以(b+d+…+n)的结果等于a除以b。

平行线分线段的比例定理指出，当三条平行线分别截两条直线时，所形成的对应线段之间是成比例的。

若一条直线平行于三角形的某一边，那么它截取该三角形其余两边（或其延长线）时，所形成的对应线段将保持比例关系。

若一条直线截取三角形任意两边（或其延长线）所形成的对应线段呈比例关系，则该直线必定与三角形的第三边平行。

在三角形的一侧平行且与另外两边相交的直线，所切割出的三角形的三条边，与原三角形的三条边形成相应的比例关系。

若一条直线平行于三角形的某一边，那么这条直线与三角形的另外两边（或这两边的延长线）相交，由此形成的三角形与原三角形相似。

相似三角形判定定理一指出，若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似，记作角角边相似（ASA）。

在直角三角形中，斜边上的高将其分割成两个较小的直角三角形，同时，这些较小的直角三角形与原来的直角三角形保持相似性。

若两个三角形的对应边成比例关系，并且它们之间的夹角相等，则这两个三角形是相似的（根据边角边相似判定法）。

94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似(sss)

若两个直角三角形的斜边与其中一条直角边之比相等，则这两个直角三角形彼此相似。

性质定理一指出，对于相似三角形，它们对应的高、中线以及角平分线的比例均与它们的相似比相等。

97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比

98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方

锐角的正弦数值等同于其补角的余弦数值，而锐角的余弦数值则与它的补角的正弦数值相等。

任何锐角的正切数值与其补角的余切数值相等，同时，任何锐角的余切数值亦与其补角的正切数值相等。

101 圆是定点的距离等于定长的点的集合

102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104 同圆或等圆的半径相等

从定点出发，所形成的轨迹与定长相关，具体表现为以该定点作为圆心，定长作为半径所绘制的圆形路径。

若一个点与已知线段的两个端点距离相同，那么该点的运动轨迹，正是该线段的垂直平分线。

107 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

在两条平行线之间，存在一个特殊的轨迹，该轨迹上的任意一点到这两条平行线的距离都是相等的。这条轨迹本身也是一条直线，并且与这两条平行线保持平行关系，距离上与它们相等。

109 定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。

垂径定理指出，若一条直径垂直于圆中的一条弦，则该直径不仅将弦一分为二，还将弦所对的两个弧等分。

平分弦的直径与该弦成直角，同时，该直径还将弦所对应的两段弧等分。

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

将弦所对应的那段弧的直径进行平分，此直径垂直于弦，同时亦将弦所对应的另一段弧等分。

112 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等

113 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114定理指出，在同一个圆或半径相等的圆中，若圆心角相等，则它们所对应的弧长也相等；同样，它们所对应的弦长也相等；此外，它们所对应的弦与圆心之间的距离也相等。

在同圆或等圆的条件下，若存在一对圆心角、一对弧、一对弦或一对弦的弦心距相等，则这些量所对应的其余相应量也将保持相等。

116 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

推论一指出，对于同一条弧或相等的弧，它们所对应的圆周角是相等的；而在同一个圆或相等的圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对应的弧也必然相等。

推论二：半圆或直径所夹的圆周角均为直角；而直角圆周角所对应的弧线恰好是直径。

若三角形某一边上的中位线长度等于该边长度的一半，则该三角形必定为直角三角形。

根据120定理，圆内接的四边形具有对角互补的性质，同时，每个外角均与其对应的内对角相等。

121 ①直线l和⊙o相交 d

②直线l和⊙o相切 d=r

③直线l和⊙o相离 d>r

判定切线的定理指出，任何一条通过圆的半径外端且与该半径垂直的直线，均可以被视为圆的切线。

123 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径

124 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

从圆周外部任意选取一点，画出该点到圆的切线，这两条切线的长度将相等，且从圆心到该点的直线将等分这两条切线所形成的夹角。

127 圆的外切四边形的两组对边的和相等

128 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

若两个弦切角之间所包含的弧长相同，则这两个弦切角的大小亦相同。

130 相交弦定理指出，在圆内，两条相交的弦，它们在交点处被分割成的两段线，其长度乘积是相等的。

若弦与直径成直角相交，则该弦长度的一半，恰为该弦所切割直径形成的两段线段长度的几何平均数。

切割线定理指出，从圆外某一点出发，所作的切线与割线，其切线长度等于该点到割线与圆相交的两段线长的几何平均数。

若从圆的外部选取一点，并引出两条与圆相交的割线，那么该点至每条割线与圆相交之点的线段长度，其乘积是相等的。

134 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

135 ①两圆外离 d>r+r

②两圆外切 d=r+r

③两圆相交 r-rr)

④两圆内切 d=r-r(r>r) ⑤两圆内含dr)

136 定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

137 定理 把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

沿着各个分点画出的圆的切线，以这些切线相交形成的点作为顶点的多边形，正是该圆的外接正n边形。

定理表明，每个正多边形都存在一个外接圆和一个内切圆，这两个圆具有相同的圆心。

139 正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n

定理：在正n边形中，其半径与边心距共同作用，将正n边形分割成2n个完全相同的直角三角形。

在计算正n边形的面积时，公式为sn等于p乘以r再除以2，其中p代表正n边形的周长，r表示正n边形的边长。

142 正三角形面积√3a/4 a表示边长

在一个顶点处，若存在k个正n边形的角，考虑到这些角的度数总和应为360°，故有k乘以(n-2)再除以n等于180°，进而可以转化为(n-2)乘以(k-2)等于4。

144 弧长计算公式：l=nπr/180

145 扇形面积公式：s扇形=nπr2/360=lr/2

内公切线长度等于直径减去内半径的差值，外公切线长度则等于直径减去两倍半径的差值。

147 等腰三角形的两个底脚相等

在等腰三角形中，顶角的角平分线、底边的中线以及从顶点垂直到底边的高线三者是同一条线。

若一个三角形的两个角度相等，则这两个角度所对应的边长也将相等。

150三条边都相等的三角形叫做等边三角形

知识点总结

高一数学知识点总结(五)

第一章

〖1.1〗集合

【1.1.1】集合的含义与表示

(1)集合的概念

集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.

N代表自然数集合，N_或N+代表正整数集合，Z代表整数集合，Q代表有理数集合，R代表实数集合。

(3)集合与元素间的关系

(4)集合的表示法

①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.

采用列举法，需将集合内的各个元素逐一列出，并用大括号括起以标识该集合。

③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素.

④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.

(5)集合的分类

集合若由一定数量的元素构成，则称之为有限集合。若集合中的元素数量无法计数，则该集合被称为无限集合。若集合中没有任何元素，则该集合被称为空集。

【1.1.2】集合间的基本关系

(6)子集、真子集、集合相等

【1.1.3】集合的基本运算

(8)交集、并集、补集

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法

(1)含绝对值的不等式的解法

(2)一元二次不等式的解法

〖1.2〗函数及其表示

【1.2.1】函数的概念

(1)函数的概念

若存在两个非空数集A与B，并存在一种对应规则f，使得对于集合A中的任意一个元素x，都能在集合B中找到与之对应且唯一的元素f(x)，则这种对应关系，连同集合A、B以及它们之间的对应规则f，统称为从集合A到集合B的一个函数，并用符号f:A→B来表示。

②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.

③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.

(2)区间的概念及表示法

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(3)求函数的定义域时，一般遵循以下原则：

①f(x)是整式时，定义域是全体实数.

②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数.

当f(x)为偶次根式时，其定义域包括所有能够使得被开方值为非负数的实数。

若对数函数的基数部分超过零，那么在涉及对数或指数形式的函数中，若其底数含有变量，则该底数必须同时满足两个条件：一是必须大于零，二是不能等于一。

⑥零(负)指数幂的底数不能为零.

当函数f(x)是通过有限个基本初等函数进行加减乘除运算组合而成时，它的定义域通常是这些基本初等函数各自定义域的公共部分。

在解决复合函数定义域的问题时，通常需要遵循以下步骤：首先，假设我们已知函数f(x)的定义域，那么复合函数f的定义域可以通过解不等式a≤g(x)≤b来得出。

对于含有字母参数的函数，在求解其定义域时，需根据问题的具体情形对字母参数进行不同类别的分析。

由实际问题所确定的函数，其定义域不仅需确保函数的合理性，还需与问题的实际背景相契合。

(4)求函数的值域或最值

确定函数极值点的常见技巧与探究函数定义域的途径在本质上是相似的。实际上，若函数的定义域内存在某个最小（或最大）数值，那么该数值即为函数的最小（或最大）值。因此，探寻函数的极值与确定其值域，在根本上是同一过程，区别仅在于提问的角度各异。常用的求函数值域和极值的方法有：

在处理较为基础的函数时，我们能够通过直观的观察迅速确定其值域或极值。

采用配方法，首先需将函数的解析式转化为包含自变量的平方项与常数项之和的形式，接着依据自变量的取值区间，进而确定函数的值域或极值。

④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值.

利用换元技巧，我们可以将复杂的表达式简化，使其变得易于处理；其中，三角代换技术尤其有效，它可以将代数函数中的极值问题巧妙地转换为三角函数的极值问题。

反函数法是通过运用函数及其反函数的定义域与值域之间的相互逆关系，来确立函数的值域或极值。

⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.

⑧函数的单调性法.

【1.2.2】函数的表示法

(5)函数的表示方法

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种.

解析法，即通过数学公式来展现两个变量间的相互联系。列表法，则是通过编制表格来展示两个变量间的对应关系。图象法，则是利用图形来呈现两个变量之间的关联性。

(6)映射的概念

④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值.

⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.

⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值.

⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.

⑧函数的单调性法.

【1.2.2】函数的表示法

(5)函数的表示方法

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种.

解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.

(6)映射的概念

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〖1.3〗函数的基本性质

【1.3.1】单调性与最大(小)值

(1)函数的单调性

①定义及判定方法

在公共定义域中，若两个函数均为增函数，则它们的和亦为增函数；若两个函数均为减函数，则它们的和亦为减函数；若一个增函数减去一个减函数，结果仍为增函数；反之，若一个减函数减去一个增函数，结果则为减函数。

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【1.3.2】奇偶性

(4)函数的奇偶性

①定义及判定方法

若f(x)是一个奇函数，并且它在x等于0的位置上有明确定义，那么我们可以得出结论，f(0)的值必须等于0。

奇函数在y轴两侧呈现的区间，其增减规律是一致的；而偶函数在y轴两侧对称的区间，其增减规律则是相反的。

在公共定义域之中，若两个函数均为偶函数或奇函数，则它们的和或差依旧保持偶函数或奇函数的性质；而两个偶函数或奇函数相乘或相除，结果则为偶函数；至于一个偶函数与一个奇函数相乘或相除，其结果则变为奇函数。

〖补充知识〗函数的图象

(1)作图

利用描点法作图：

①确定函数的定义域;

②化解函数解析式;

③讨论函数的性质(奇偶性、单调性);

④画出函数的图象.

利用基本函数图象的变换作图：

必须精确掌握一次、二次、反比例、指数、对数、幂以及三角等多种基础初等函数的图形特征。

①平移变换

②伸缩变换

③对称变换

(2)识图

对于特定函数的图形，需从图形的两侧、顶部和底部等不同方向，探讨其定义域和值域，分析其单调增减趋势和对称性质，同时留意图形特征与函数解析式中各参数之间的内在联系。

(3)用图

函数图象生动地呈现了函数的特性，这种呈现方式为探究数量之间的联系提供了直观的“形态”感受，它不仅是寻找解题思路的关键手段，也是获取问题答案的重要工具。因此，我们应当高度重视将数与形相结合的解题思路和方法。

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

〖2.1〗指数函数

【2.1.1】指数与指数幂的运算

(1)根式的概念

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【2.1.2】指数函数及其性质

(4)指数函数

〖2.2〗对数函数

【2.2.1】对数与对数运算

(1)对数的定义

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【2.2.2】对数函数及其性质

(5)对数函数

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〖2.3〗幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x为自变量，a是常数.

(2)幂函数的图象

(3)幂函数的性质

图像分布特点：幂函数的图像存在于第一、二、三象限之中，而在第四象限则没有相应的图像出现。当幂函数表现为偶函数时，其图像将局限于第一、二象限，且呈现轴对称的特征；若为奇函数，图像则位于第一、三象限，并具有原点对称的性质；至于非奇非偶的幂函数，其图像仅出现在第一象限。

所有幂函数在区间(0,+∞)内均具有明确的定义，同时它们的图像无一例外地会穿过坐标点(1,1)。

③单调性：如果a>0，则幂函数的图象过原点，并且在

0, +∞)上为增函数.如果a

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〖补充知识〗二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

(2)求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时，宜用一般式.

当已知抛物线的顶点位置信息，包括其坐标或与对称轴的关系，或者与抛物线的最大值或最小值相关时，我们通常会采用顶点式进行计算。

如果已知抛物线与X轴存在两个交点，并且这些交点的横坐标已经确定，那么使用二次式来求解f(x)会更加便捷。

(3)二次函数图象的性质

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一元二次方程的根的分布是二次函数领域的关键部分。尽管这一概念在初中代数课程中有所提及，但其阐述却不够系统，内容也不够全面。此外，解决这类问题时，主要依赖二次方程根的判别式以及韦达定理的应用。以下，我们将结合二次函数图像的特性，对一元二次方程的实根分布进行系统性的分析。

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⑥k1

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第三章 函数的应用

方程的根与函数的零点