高中数学必修4平面向量知识点归纳：向量的基本概念与运算

高中数学必修四中的平面向量知识点归纳如下：向量是具有大小和方向的量，不能直接比较大小，但可以向量的模进行比较。零向量是长度为0的向量，记作0，其方向是任意的，且与任意向量平行。单位向量是长度为1个单位长度的向量。平行向量（或称共线向量）是指方向相同或相反的非零向量。相等向量是指长度相等且方向相同的向量。向量加法方面，若向量AB和向量BC，则有a + b = AB + BC = AC。其中，0向量与自身相加等于0向量；向量加法遵循交换律和结合律；例如，向量AB + BC + CD + DE + EF + FA = 0。

6、平面向量的基本定理表明，如果e1和e2是平面上的两个向量，那么它们可以构成平面上的所有向量。

3、若存在两个不在同一直线上的向量，则对于该平面上的任意向量a，存在唯一的一对实数x和y，使得a可以表示为x倍的向量e1加上y倍的向量e2，这里的e1和e2构成该平面内所有向量的一组基底。平面向量的坐标表示方法为：平面上的任意向量a可以写成axi+yj的形式，并记作a=(x,y)。平面向量坐标的计算方法包括：首先，计算两个向量的点积，即向量r1的x分量与向量r2的x分量相乘，向量r1的y分量与向量r2的y分量相乘，然后将这两个乘积相加；其次，若向量A和向量B的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则向量AB的长度可以通过计算向量B的x分量与向量A的x分量的差的平方，再加上向量B的y分量与向量A的y分量的差的平方，最后取平方根得到；再者，若点P的坐标为(r, x, y)，则向量r的坐标可以表示为(r, x, y)的形式；最后，对于向量r1和向量r2，它们的点积可以表示为r1的x分量与r2的y分量的差，以及r1的y分量与r2的x分量的差。

若y10等于a和b的比值，则a除以b等于y1乘以rx1，y1乘以rx2，y2乘以rrx1，x2乘以y1，y2乘以0。若a不等于b，则x1和x2之间的三平面向量的数量积为1。两个向量的数量积，即它们的点积，等于向量a的模长与向量b在a方向上的投影的乘积再乘以它们夹角的余弦值。当夹角为0度时，这个点积称为a与b的数量积（或内积）。规定当a的模长为0时，a与b的点积为0。向量b在a方向上的投影，记作b在a方向上的射影，其绝对值称为射影长度。数量积的几何意义表明，向量a与向量b的点积等于向量a的长度与向量b在a方向上的投影长度的乘积。向量的模长与其平方之间存在关系，即向量a的模长的平方等于向量a的点积。

5、乘法公式有效：rrrrr等于2r乘以2r乘以2r乘以2abababab；rr等于2r2r，rr2r等于2r乘以rr2r，rr等于2r乘以rr，2aba等于2a，bba等于2abb6。平面向量数量积的运算规律：rrrr交换律成立；a乘以b等于b乘以a对实数的结合律成立；rrrr等于rrrrR，aba等于babrrrrrrrrrr（第1题）。分配律成立：ab乘以c等于cb乘以ccab。特别提醒：（1）结合律不成立：rrrr不等于rr；ab乘以ca不等于bc乘以rrr；（2）消去律不成立：a乘以b等于0不能推出a等于0或b等于0；r等于0不能推出rr等于0；（3）a乘以b等于0当且仅当a等于0或b等于0。7、两个向量的数量积的坐标运算：rrrry1等于y2，已知两个向量a(x1, y1)、b(

若向量a与向量b的起点分别为O，终点分别为A和B，且OA的长度等于向量a的模，OB的长度等于向量b的模，那么向量a与向量b之间的夹角AOB（记作θ）称为向量a与向量b的夹角。根据余弦定理，向量a与向量b的夹角θ的余弦值等于它们的点积除以它们的模的乘积，即cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)。当向量a与向量b同方向时，它们的夹角为0度；当它们反方向时，夹角为180度。对于零向量与任何非零向量，不讨论夹角这一概念。若向量a与向量b的夹角为90度，则称它们垂直，记作a⊥b。两个非零向量垂直的充要条件是它们的点积等于0，即a·b = 0。

在平面直角坐标系中，以O为原点，已知点A的坐标为(3, 1)，点B的坐标为(1, 3)，若点C满足向量OC与向量OA的点积等于向量OC与向量OB的点积，且R的值在1到2之间，那么点C的轨迹方程是：A. 3x^2 - 11y^2 + 1 = 0。

已知向量a和向量b均非零，并且满足条件向量a与向量b的点积等于向量a自身乘以向量b，以及向量b与向量a的点积等于向量b自身乘以向量a，那么向量a与向量b之间的夹角为AB25CD63365度。在四边形ABCD中，若ABCD为菱形，且点P位于对角线AC上（但不包括端点A和C），则AP的长度等于AB和AD长度的一半，BP的长度等于AB和BC长度的一半，CP的长度等于AB和AD长度的一半，DP的长度等于AB和BC长度的一半。在三角形ABC中，若D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，则向量DF等于向量AE减去向量EF，向量EF等于向量FB减去向量BE，向量EF等于向量EC减去向量CF，向量DE等于向量AF减去向量AD，向量DF等于向量BE减去向量EF，向量EF等于向量DE减去向量EF，向量EF等于向量DF减去向量FE。若平面向量a与向量b之间存在某种关系，则需进一步分析。

10、如图所示，在梯形ABCD中，|AD|等于|BC|，且EF平行于AB和CD，则相等的向量是（）。选项：A. AD与BCBOA与OBCA。

14、在平面内，设四边形ABCD和点O，若向量OA等于向量a，向量OB等于向量b，向量OC等于向量c，那么……

若点P满足条件AP、AB、AC的长度关系，即AP等于AB与AC的长度之和，那么四边形ABCD的形态将呈现为三角形。在解答题17中，已知点A的坐标为(2,3)，点B的坐标为(5,4)，点C的坐标为(7,10)，若要确定点P在第三象限内的具体值，需要计算并求解。在平面几何中，若三个点A、B、C构成的线段长度分别为|AB|=3，|BC|=4，|CA|=5，那么线段AB与BC的长度之比为3:4。在图形ABC中，点A的坐标为(7, 8)，点B的坐标为(3, 5)，点C的坐标为(4, 3)，M、N、D分别是线段AB、AC、BC的中点，且线段MN与AD相交于点F，需要计算DF的长度。在正方形ABCD中，点E和点F分别是线段AB和BC的中点，需要证明线段AF与DE的长度相等。

利用向量方法进行证明（针对第19题），已知向量a的坐标为(cosθ, sinθ)，向量b的坐标为(3, 1)，那么|2a·b|的最大值如下、选择题1 B选项解析：观察图形可知，AB与AC不平行，AD与AE也不平行，同时AD与BD共线且方向相反2 A选项解析：两个单位向量虽然模长相同，但方向可能不同，因此B选项错误。若AB平行于DC，则A、B、C、D四点可能共线，故C选项错误。两个向量相等的充分必要条件是它们的大小相等且方向一致，因此D选项同样不正确3 D选项解析：提示：设OC的坐标为(x, y)，OA的坐标为(3, 1)，OB的坐标为(1, 3)，则OA的坐标为(3, 0)，OB的坐标为(0, 3)。又因为OAOB构成的向量(3, 3)与向量(3, 3)平行，所以(x, y)也必须与(3, 3)平行，即x=3，y=3。

解析：将长句拆分，我们得到以下小分句：a的平方减去2倍的ab再加上b的平方等于1，b的平方减去2倍的ab再加上a的平方也等于1，a的平方和b的平方分别等于2和2，即a的绝对值和b的绝对值分别等于2，a和b的夹角的余弦值等于1除以2，因此a与b的夹角是35度。解析：根据平行四边形法则，向量AB、AD和AC共线，向量AB、BC和AC也共线，结合向量的长度和数乘的性质，得到(0,1)乘以6等于D。解析：如图所示，AF平行于DE，DF、DE、EE、FE和FA的长度相等，即DF等于DE等于EE等于FE等于FA。解析：由(a的平方减去2倍的ab再加上b的平方)的平方等于7的平方，得到a的平方减去2倍的ab再加上b的平方等于7，同时已知b的绝对值等于4，a与b的乘积的绝对值小于等于4乘以7。

对于方程 a|b|cos60° = a² - 2a² + 96/72，解得 |a| = 68°。解析：通过三角形OAOB、OBOC、OCOA的几何关系，我们可以得到OAOBOCOA，即OA(OC * OB) = 0，从而得出BCOA = 0，BC = OA。同理，可以证明AC = OB，点O是三角形ABC的三条高线的交点。解析：在四边形ABCD中，AD = BC，且AD的长度等于BC的长度，因此四边形ABCD是一个梯形。解析：在向量AD、BC、AC、BD、OA、OB中，它们的方向各不相同，因此它们不是相等的向量。二、填空题解析：若点A、B、C共线，则向量AB和向量BC共线，即AB与OB、OA的点积为零。

在点(k, 12)、(4k, 7)以及(4k, 5)处，BC、OC、OB分别对应(k, 10)、(4, 5)和(k, 4, 5)。同时，点A、B、C在同一直线上。由5(4k)和7(k4)的关系，可以得出k的值为2或x4x3x40x1x11325。解析：在点M(1,3)和N(1,3)之间，线段MN的坐标为(2,0)。又因为a MN，所以x32x1，解得x的值为2或x4x3x40x1x11325。解析：思路一：AB的长度为3，BC的长度为4，CA的长度为5，根据第13题的提示，(CA)的平方为25。思路二：AB的长度为3，BC的长度为4，CA的长度为5，且ABC的夹角为90度，因此cos CAB的值为AB的长度除以3，cos BCA的值为BC的长度除以4乘以CA的长度除以5乘以CA的长度除以5。根据数积的定义，结合图(右图)可知，AB与BC的乘积等于CA的平方。

BC0，4BC CA BC CA 的余弦值为 4/5，16，3CA AB CA AB 的余弦值为 3/5，9 AB BC BC CA CA 的平方和为 0169，2514，23，3。解析：设 a mb 的值为 (3, 2m, 4m)，a b 的值为 (1, 5)，(a mb) 与 (a b) 的乘积为 (3, 2m) 与 (4m) 的乘积，(a mb) 与 (a b) 的乘积为 (3, 2m) 的平方，(a mb) 与 (a b) 的乘积为 (4m) 的平方。由于 ABC 形成直角三角形且 ABC 的角度为 90 度，即 AB 与 BC 相等，AB 与 BC 的长度均为 0，AB 与 BC 的长度乘积与 BC 与 CA 的长度乘积相等，BC 与 CA 的长度乘积与 CA 的长度乘积相等，BC 与 CA 的长度乘积与 AB 的长度乘积的余弦值为 5/0m，即 23/315。答案：重心位于以 OA 和 OC 为邻边的三角形 AOC 内。

在点E处，F与AC相交，因此，OF与OA、OC平行，同时OA与OC、OB平行。由此可知，OF是三角形ABC的重心。解析如下：设点P的坐标为(x，y)，则AP的坐标为(x，y)，(2，3)，(x^2，y^3)。AB与AC的坐标分别为(5，4)，(2，3)，(7，10)，(2，3)，(3，？)，(5，7)，(35，7)。AP与AB、AC平行，(x^2，y^3)与(35，17)平行，x^2=35x-55，y^3=17y-17。即47y=17，要使点P位于第三象限，只需解得x<0且y<0。

147018 DF (7 ，2)4解析：点A位于(7，8)，点B位于(3，5)，点C位于(4，3)，线段AB的中点为(4，3)，线段AC的中点为(3，5)，线段AD的中点为(7，4)。此外，M和N分别是线段AB和AC的中点，F是线段AD的中点，因此DF与FD1平行于AD1，且DF FD1 AD1 (7 ，4)( 7，2)222419证明：假设AB的长度为a，AD的长度为b，那么AF的长度为a乘以1再除以b，ED的长度为b乘以1再除以a。因此，AF与ED的乘积等于(a乘以1再除以b)乘以(b乘以1再除以a)的倒数，即1除以(a的平方加上b的平方)的三倍，即1/(a^2 + b^2) * 3。又因为AB与AD的长度相等，且AB与AD的长度均为正数，a的平方等于b的平方，a与b的乘积不为零，所以AF与ED的乘积等于1。

19、对于D0，AF ED这个问题，我们同样可以在建立平面直角坐标系的基础上进行证明（详见第19题）。分析如下：首先，我们考虑思路1，其中2a和b分别对应于向量(2cos3，2sin1)，而|2a b|的平方等于(2cos3)^2加上(2sin1)^2，等于28，即4sin43cos8。进一步地，4sin4等于3cos8加上(sin cos cos sin)8sin()，其最大值为3。因此，|2a b|^2的最大值为16，进而|2a b|的最大值为4。接下来，我们考虑思路2，通过将向量2a和b平移，使它们的起点与原点重合，那么|2a b|就表示2a和b终点之间的距离。由于2a的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P，而b的终点是该圆上的一个定点Q，根据圆的性质，我们知道|PQ|的最大值就是圆的直径长度，即4。此外，D是BC的中点，所以……