六年级上册数学第一单元分数乘法知识点归纳总结

六年级上册数学知识点归纳总结

第一单元  分数乘法

（一）分数乘法的意义：

分数与整数的乘积运算具有相同的意义，它们均代表通过简便方式计算多个相同数值相加的总和。

例如：  8/9×5表示求5个8/9的和是多少？

2、分数乘分数是求一个数的几分之几是多少。

例如：  8/9×3/4表示求8/9的3/4是多少？

（二）、分数乘法的计算法则：

在进行分数与整数的乘法运算时，分子的数值需与整数相乘，所得的乘积作为新的分子，而分母则保持原样不变。在运算过程中，如果整数和分母存在公约数，可以进行约分。

在分数相乘的过程中，应当将各自的分子相乘，所得结果作为新分数的分子；同时，将各自的分母相乘，所得结果作为新分数的分母。

3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。

在进行乘法运算时，若涉及带分数，务必先将带分数转换为假分数，然后继续计算。

（三）、规律：（乘法中比较大小时）

一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。

一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数。

一个数（0除外）乘1，积等于这个数。

（四）、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。

整数乘法中的交换律、结合律以及分配律，在分数乘法中依然有效。

乘法交换律：  a × b = b × a

乘法结合性原则表明，在执行乘法运算时，先计算前两个数的乘积，再与第三个数相乘，其结果与先计算后两个数的乘积，再将所得结果与第一个数相乘，是相同的。即：(a乘以b)再乘以c，等于a乘以(b乘以c)。

乘法分配原则表明，当一个数与两个数的和相乘时，可以先将该数分别与这两个数相乘，然后将结果相加，即（a+b）乘以c等于ac加上bc，反之亦然，ac加上bc也等于（a+b）乘以c。

二、分数乘法的解决问题

已知某个单位“1”的数量（通过乘法计算），需要计算单位“1”的某个比例或分数值是多少。

1、画线段图：

（1）首先，展示两个量之间的关联，我们可以绘制两条线段图；  （2）其次，为了体现部分与整体之间的联系，仅需绘制一条线段图即可。

确定单位“1”的位置：需在分率句的分率部分之前寻找；亦或在“占”、“是”、“比”等字词的后续部分进行定位。

要计算一个数的若干倍，只需将该数与倍数相乘；而要找出一个数的某个比例值，则是将这个数与该比例相乘。

4、写数量关系式技巧：

“的”这一符号等同于“×”，“占”、“是”、“比”等词则可视为“=”的符号。

（2）分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量

在分率之前，“多或少”的含义为：以“1”为基准的数值乘以（1加减分率），即可得到与分率相对应的数量。

三、倒数

1、倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数。

互为倒数的关系指的是两个数之间的特殊联系，它们相互依赖，一个数是另一个数的倒数，而倒数本身不能独立存在。

2、求倒数的方法：

（1）、求分数的倒数：交换分子分母的位置。

求一个整数的倒数，可以将该整数视为分母为1的分数形式，随后交换分子与分母的位置。

（3）、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。

（4）、求小数的倒数：  把小数化为分数，再求倒数。

3、1的倒数是1，而0则没有倒数；这是因为1乘以1等于1，而0与任何数相乘都会得到0，同时需要注意的是，分母不能为0。

对于任一非零数a，其倒数可以表示为1除以a；对于非零整数a，其倒数同样为1除以a；而分数b/a的倒数则是a除以b。

真分数的倒数值总是超过1；而假分数的倒数值则不会超过，甚至可能等于1；至于带分数，其倒数值必定小于1。

第三单元  分数除法

1、分数除法的意义：

乘法： 因数 × 因数 = 积

除法： 积 ÷ 一个因数 = 另一个因数

分数除法和整数除法具有相同的意义，它们均用于求解已知两个因数的乘积以及其中一个因数时，另一个因数的具体数值。

2、分数除法的计算法则：

除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。

3、 规律（分数除法比较大小时）：

（1）、当除数大于1，商小于被除数；

（2）、当除数小于1（不等于0），商大于被除数；

（3）、当除数等于1，商等于被除数。

中括号，也被称为方括号。在处理算式时，若同时存在小括号和中括号，我们必须优先计算小括号内的内容，然后才是中括号内的运算。

二、分数除法解决问题

对于未知单位“1”的数量（通过除法进行计算），我们需要确定已知单位“1”的某个比例或部分具体是多少，进而计算出单位“1”的确切数量。

1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：

（1）分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量

在计算分率时，若分率前有“多或少”的表述，则可以这样理解：以单位“1”的总量为基础，乘以相应的分率数值，即可得到与该分率相对应的具体数量。

2、解法:（建议：最好用方程解答）

（1）方程：根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。

在算术运算中，若采用除法，可以通过将分率对应量除以对应分率，从而计算出单位“1”的量。

3、求一个数是另一个数的几分之几：就  一个数÷另一个数

寻找一个数相对于另一个数增加（减少）的比例：将这两个数的差值除以单位“1”的数量，或者：

① 求多几分之几：大数÷小数 – 1

② 求少几分之几： 1 -  小数÷大数

第四单元  比

比和比的应用

（一）、比的意义

1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。

在两个数的比较关系中，位于比号左侧的数被称为比的前项，而位于比号右侧的数则被称为比的后项。将比的前项除以比的后项，得到的商值即为比值。

比值通常以分数形式呈现，亦可用小数或整数来表示，例如，15除以10等于3/2。

15      ∶      10  ＝  3/2

↓      ↓      ↓          ↓

前项  比号  后项      比值

3、比不仅能体现两个相等数量之间的联系，即它们之间的倍数关系，而且还能用来比较两个不等数量，从而计算出新的量值。例如，通过路程除以速度，我们可以得到时间这一结果。

4、区分比和比值

比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。

比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。

5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。

6、　比和除法、分数的联系：

图片发自简书App

除法作为一种运算方式，与分数和比有明显的不同。分数本身是一个数值，而比则是用来表达两个数值之间关系的符号。

8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。

在体育竞技中，我们常看到比分呈现为2：0等情形，这仅仅是一种计分方式，并不能反映出两个数字相除的数学关系。

（二）、比的基本性质

1、根据比、除法、分数的关系：

商的不变性原理表明，若被除数与除数同乘以或除以一个相同的数（零除外），则所得的商值保持不变。

分数的固有特性在于，当分数的上下两部分，即分子与分母，均被相同的数值相乘或相除（但需排除零的情况），该分数的数值将保持不变。

比的原理规定：在比较过程中，若将比的前项与后项同时进行相乘或相除的操作（零数除外），那么所得到的比值将保持不变。

最简整数比的定义是，比值的前后两项均为整数，并且它们之间没有其他公约数，满足这一条件的比值便被称为最简整数比。

3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。

依据比的基本性质——化简比：

方法一:①用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。

两个分数相除时，应当将分子和分母分别乘以这两个分数分母的最小公倍数，然后依照化简整数比的方法进行化简。

③两个小数的比：向右移动小数点的位置，先化成整数比再化简。

方法二：用求比值的方法。注意: 最后结果要写成比的形式。

此规定明确指出，不得擅自更改或修改专业术语，必须严格遵守。在表述过程中，应确保术语的准确性和一致性，不得随意替换或增减。同时，对于专业领域的专有名词，必须保持原样，不得进行任何形式的修改。

将某个总量依照既定比率进行划分，这种做法通常被称作按比例分配。

若两个量的比例关系为a比b，那么我们可以将这两个量分别设定为ax和bx。

在固定距离下，速度与时间成反比例关系。例如，若两者距离相等，速度之比为4比5，那么所需时间之比则为5比4。

工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。

若工作量一致，其所需时间之比为3比2，而完成这些工作所需效率之比则为2比3。

第五单元  圆

一、 认识圆

1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。

将圆形纸张对折两次，观察两次折痕的交汇点，该点即为圆心所在。

圆心一般用字母O表示，它到圆上任意一点的距离都相等。

圆心与圆周上任意一点之间的连线被称为半径，通常用字母r来表示。

把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。

直径，是指穿过圆心且两端均位于圆周上的线段。通常情况下，我们用字母“d”来表示直径。

直径是一个圆内最长的线段。

5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

在同一个圆或完全相同的圆中，存在着无数条半径和无数条直径。这些半径彼此相等，而那些直径也相互等长。

在同一圆或等圆的范围内，直径的长度总是半径长度的两倍，而半径的长度则是直径长度的一半。

用字母表示为：d＝2r或r ＝ d/2。

8、轴对称图形：

若将某图形沿一条直线对折，其两侧部分能够完全吻合，则该图形属于轴对称图形类别。

这条直线，即折痕所在的位置，被称为对称轴；它可以是经过圆心的一条直线，亦或是直径所在的直线。

长方形、正方形以及圆形均属于对称图形，并且各自拥有一条对称轴。因此，它们均可以被称为轴对称图形。

具有单一对称轴的图形包括：直角、等腰的三角形、等腰的梯形、扇形以及半圆形。

只有2条对称轴的图形是：  长方形

只有3条对称轴的图形是：  等边三角形

只有4条对称轴的图形是：  正方形;

有无数条对称轴的图形是：  圆、圆环。

二、圆的周长

圆的周长是指构成圆形轮廓的线条的总长度，通常用字母C来表示这一度量。

2、圆周率实验：

在圆形纸张上标记一点，确保其与直尺的零刻度线对准，随后将直尺沿圆周滚动一圈，以此来测量圆的周长。通过观察，可以发现一个普遍的规律：圆的周长与直径的比值恒定不变，这个比值被称为圆周率（π）。

圆周率这一概念，指的是任何一个圆形的周长与其直径之间的比例，这个比例值是恒定不变的，我们将其命名为圆周率，并用希腊字母π来表示。

一个圆的周长始终略大于其直径的三倍，而这个比例恒定不变。

π，即圆周率，它是一种无止境且不重复的小数。在数学运算中，我们通常将π近似为3.14。

在判断过程中，圆的周长与直径的比例应当是π的数值，而非3.14这个近似值。

我国历史上，第一位成功计算出圆周率数值的数学家是祖冲之。

4、圆的周长公式：

C= πd    →    d = C ÷π

C=2π r    →    r = C ÷ 2π

在正方形内部绘制一个最大的圆，该圆的直径与正方形的边长完全相等。

在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。

6、区分周长的一半和半圆的周长：

圆周长的一半，即是圆周长除以二，其计算公式为：2πr除以2，也就是πr。

半圆的周长可由圆周长的一半与直径之和得出，其计算公式为：π乘以半径r，再加上2倍的半径r，即5.14乘以r。

三、圆的面积

圆的面积是指圆在平面上所覆盖的区域，这一区域的度量被称为圆的面积，通常用字母S来表示。

扇形是由一条弧线及其两端延伸至圆心的两条半径所围成的图形。位于圆心位置的角被称为圆心角。

3、圆面积公式的推导：

采用逐步深入的转化理念，展现将圆形变为方形，将曲线变为直线；将新颖变为陈旧，将未知变为已知，将繁杂变为简单，将抽象变为具体。

将一个圆形平均分割成偶数个扇形部分，随着扇形数量的增加，所拼合成的图形将越来越类似于长方形。

（3）、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。

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圆的半径  =  长方形的宽

圆的周长的一半  =  长方形的长

因为：  长方形面积  =  长  ×  宽

所以： 圆的面积 = 圆周长的一半 × 圆的半径

圆的面积可通过公式计算得出，即圆的面积等于π乘以半径的平方，公式表示为S圆 = πr²。若将此公式进行变形，可以得到半径的平方等于面积除以π，即r² = S ÷ π。

4、环形的面积：

存在一个环形结构，其外围的直径长度为R，而内部的直径长度为r。（其中，R的数值等于r与环形宽度之和。）

S环 = πR²－πｒ²　    或

环形的面积公式：  S环 = π（R²－ｒ²）。

圆的半径若增加或减少若干倍，其直径和周长也会以相同的倍数增加或减少；至于面积，其增减的倍数则是半径增减倍数的平方。

在同一个圆内，若半径增至原来的三倍，则其直径和周长亦相应增加三倍，但面积的增长却是半径增长的平方，即扩大至九倍。

两个圆的半径之比等于直径之比，也等于周长之比；同时，它们的面积之比则等于上述比例的平方。

若两个圆的半径之比为2比3，则这两个圆的直径之比和周长之比亦为2比3，同时它们的面积之比则为4比9。

任何正方形与其中所包含的内切圆的面积比均恒定不变，具体数值为4比π。

当周长相同的矩形、正方形和圆形中，圆形的面积达到最大值，正方形位于中间，而长方形的面积则是三者中最小的。反之，若面积相等，长方形的周长将是最长的，正方形再次居中，而圆形的周长则会是最短的。

9、确定起跑线：

每条跑道的总长度等于由两个半圆形跑道构成的圆形周长，再加上两个直道部分的长度之和。

每条跑道的直道部分长度一致，而各自的圆形周长则决定了每条跑道的整体长度，这也导致了起跑线的位置各不相同。

（3）、每相邻两个跑道相隔的距离是：  2×π×跑道的宽度

当圆的半径每增加a厘米，其周长便相应增长2πa厘米；同理，若圆的直径每增加a厘米，其周长也会随之增长πa厘米。

11、常用各π值结果：

π = 3.14

2π = 6.28

3π = 9.42

5π = 15.7

6π = 18.84

7π = 21.98

9π = 28.26

10π = 31.4

16π = 50.24

36π = 113.04

64π = 200.96

96π = 301.44

4π = 12.56

8π = 25.12

25π = 78.5

12、常用平方数结果

11的平方等于121，12的平方等于144，13的平方等于169，14的平方等于196，15的平方等于225，16的平方等于256，17的平方等于289，18的平方等于324，19的平方等于361。

第六单元  百分数

一、百分数的意义和写法

1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。

百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比。

2、 千分数：表示一个数是另一个数的千分之几。

3、 百分数和分数的主要联系与区别：

（1） 联系：都可以表示两个量的倍比关系。

① 意义方面存在差异：百分数仅能体现两个数值之间的倍数联系，无法代表具体数量，因此不能附带单位；而分数则既能表达具体数值，亦能反映两个数值间的关联，在表示具体数值时，分数是可以附上单位的。

百分比的分子部分可以是完整的数字，亦或是小数形式；而分数的分子则必须为自然数，且不能是除零以外的任何数。

在表示百分数时，我们通常不会将其以分数的形式呈现，而是在原有的分子之后附加一个百分号符号“％”来标示。

二、百分数和分数、小数的互化

（一）百分数与小数的互化：

将小数转换为百分比：需将小数点向右移动两位，并在此后附加百分符号。

将百分比转换为小数时，需将小数点向左移动两格，并且取消百分号。

（二）百分数的和分数的互化

1、百分数化成分数：

将百分比数值转换为分数形式，确保分母为100，若有可能，需将分数约简至最简状态。

2、分数化成百分数：

运用分数的基本原理，可以将分数的底数放大或缩小至100，进而将其转换为百分数的表现形式。

首先，需将分数转换为小数形式，若无法整除，一般保留至小数点后三位；接着，再将所得小数转换为百分数。

（三）常见的分数与小数、百分数之间的互化

1/2 = 0.5 = 50%

1/5= 0.2 = 20%

5/8= 0.625 = 62.5%

1/4 = 0.25 = 25%

2/5= 0.4 = 40%

1/8= 0.125 = 12.5%

3/4= 0.75 = 75%

3/5= 0.6 = 60%

3/8= 0.375 = 37.5%

1/16= 0.0625 = 6.25%

4/5 = 0.8 = 80%

7/8 = 0.875 = 87.5%

1/25 = 0.04 = 4﹪

2/25 = 0.08 = 8﹪

3/25 = 0.12 = 12﹪

4/25= 0.16 = 16﹪

三、用百分数解决问题

（一）一般应用题

1、常见的百分率的计算方法：

①合格率 =  合格产品数/产品总数×100％

②发芽率 = 发芽种子数/种子总数×100％

③出勤率 =  出勤人数/总人数×100％

④达标率 = 达标人数/总人数×100％

⑤成活率 = 成活的数量/总数量×100％

⑥出粉率 = 粉的重量/出粉物的重量×100％

⑦烘干率 = 烘干后的重量/烘干前的重量×100％

含水率计算公式为：烘干前重量减去烘干后重量，所得差值除以烘干前重量，再乘以100%。

通常情况下，出勤率、成活率、合格率、正确率均能达到百分之一百，而出米率、出油率则往往无法达到百分之一百。至于完成率以及增长百分比，它们是有可能超过百分之一百的。通常，出粉率大约在70%至80%之间，而出油率则大约在30%至40%之间。

已知一个单位量的数值（通过乘法计算），需要求解该单位量所占的百分比是多少的问题。

数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：

（1）分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量

在计算分率时，其含义为“增加或减少”：将单位“1”的数量乘以（1加减分率），即可得到与分率相对应的量。

对于未知单位“1”的数值，通过除法计算，若已知单位“1”的百分比，需计算单位“1”的具体数值。

解法：（建议：最好用方程解答）

（1）方程：  根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。

（2）算术（用除法）：分率对应量÷对应分率 = 单位“1”的量

4、求一个数比另一个数多（少）百分之几的问题：

将两个数的差值除以单位“1”的数量，再乘以百分之一百。或者：

① 求多百分之几：（大数÷小数 – 1） × 100%

② 求少百分之几：（ 1 -  小数÷大数）× 100%

（二）、折扣

商品在销售过程中，会以低于原定价格的一定比例进行售卖，这种销售方式被称为折扣，通常简称为“打折”。

折扣数值代表十分之几，等同于百分比中的若干十。比如，八折等同于十分之八，换算成百分比即是80%；而六折五则表示十分之六点五，相应地，其百分比就是65%。

一成相当于十分之一，换算成百分比即是10%。而三成五则等于十分之三点五，对应的百分比则是35%。

（三）、纳税

纳税行为涉及依照国家税收法规的明文规定，依照既定比例，将集体或个人所得中的一部分上交国家财政。

税收作为国家财政收入的根本渠道之一，为国家提供了发展经济、推动科技进步、促进教育繁荣、繁荣文化事业以及保障国防安全的资金支持。

3、应纳税额：缴纳的税款叫做应纳税额。

4、税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。

5、应纳税额的计算方法：应纳税额 = 总收入 × 税率

（四）利息

1、存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。

人们通常会将暂时不使用的资金存放在银行或信用社，进行储蓄。此举不仅能助力国家建设，还能确保个人资金的安全与使用计划性，同时还能带来一定的额外收入。

3、本金：存入银行的钱叫做本金。

4、利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。

5、利率：利息与本金的比值叫做利率。

6、利息的计算公式：利息＝本金×利率×时间

7、注意：如要上利息税（国债和教育储藏的利息不纳税），则：

税后所得的利息等于原始利息减去需缴纳的税费，即利息减去利息乘以税率，或者说是利息乘以（1减去税率）。

第七单元  扇形统计图

一、扇形统计图的意义：

以整个圆的面积来代表总量，而圆内部的各个扇形面积则分别反映了各个部分与总量之间的比例关系。

也就是各部分数量占总数的百分比（因此也叫百分比图）。

二、常用统计图的优点：

1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。

折线统计图不仅能直观地展示出各类数量的具体数值，而且能够明确反映出数量随时间或其他因素变化的增减趋势。

扇形统计图能够直观地展示出各个部分与整体数量之间的比例关系。

在同一个圆内，扇形的面积与其圆心角的大小紧密相连，圆心角愈大，扇形的面积也就愈大。故而，扇形面积在圆面积中所占的比例，与该扇形圆心角度数在圆周角度数中所占的比例是相等的。

常用单位换算

长度单位换算

一千米等于一千米，一米等于十个分米，一分米等于十个厘米，一米也等于一百厘米，而一厘米则等于十个毫米。

面积单位换算

1平方千米等于一百公顷，而一公顷则等于一万平方米，进一步地，一平方米又等于一百平方分米。

1平方分米=100平方厘米  1平方厘米=100平方毫米

体(容)积单位换算

一立方米的体积等于一千立方分米，而一立方分米的体积则等于一千立方厘米，同时，一立方分米的容量也恰好等于一升。

1立方厘米=1毫升  1立方米=1000升

重量单位换算

一吨等于一千千克，一千克等于一千克，亦即一千克等同于一公斤。

人民币单位换算

1元=10角  1角=10分 1元=100分

时间单位换算

1世纪=100年 ，1年=12月

大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月

小月(30天)的有:4\6\9\11月

平年2月28天, 闰年2月29天

平年全年365天, 闰年全年366天

1日=24小时

1时=60分

1分=60秒

1时=3600秒

最后编辑于 ：2019.08.03 16:11:00

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