2023中考数学复习：21个常考知识点之数轴与相反数

2023中考数学复习

常考的知识点21个

一、数轴

1.数轴的概念：

数轴是由确定的原点、规定的正方向以及固定的单位长度所构成的直线。其中，原点、单位长度和正方向构成了数轴的三个基本要素。

数轴上的各个点能够代表所有的有理数，然而并非数轴上的每一个点都代表有理数。通常情况下，我们将右侧的方向定义为正方向，而数轴上的点则与任意实数相对应，这其中包括了无理数。

在数轴上进行数值比较时，通常情况下，若数轴的箭头指向右侧，那么位于右侧的数值普遍高于左侧的数值。

二、相反数

1.相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

相反数的概念在于，它们总是成对出现，不能孤立存在。观察数轴，除了0之外，任何两个互为相反数的数，它们都位于原点的两侧，并且与原点的距离是相等的。

在化简包含多个符号的算式时，符号的数量并不影响结果，关键在于负号“﹣”的个数。若负号“﹣”为奇数个，最终结果将是负值；而若负号“﹣”为偶数个，最终结果则将是正值。

在总结求一个数的相反数的方法时，我们只需在该数前加上“﹣”符号，例如，数a的相反数写作﹣a。对于表达式m+n，其相反数则为﹣（m+n），这里m+n被视为一个整体，在给整体前添加负号时，必须使用小括号来确保正确性。

三、绝对值

1.概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值。

①互为相反数的两个数绝对值相等；

一个正数的绝对值对应两个数，0的绝对值对应一个数，而不存在任何数的绝对值是负数。

③有理数的绝对值都是非负数。

若以字母a代表有理数，那么该数a的绝对值需依据字母a的具体数值来决定。

①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；

②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；

③当a是零时，a的绝对值是零．

四、有理数大小比较

在进行有理数大小比较时，我们可以借助数轴这一工具，观察它们在数轴上的排列顺序，即从左至右的顺序，这也就是从大到小的顺序（在数轴上，右侧的数总是比左侧的数要大）。此外，我们还可以通过分析数的性质来比较异号数以及0的大小，或者通过比较绝对值来确定两个负数的大小关系。

2.有理数大小比较的法则：

①正数都大于0；

②负数都小于0；

③正数大于一切负数；

④两个负数，绝对值大的其值反而小。

规律方法：有理数大小比较的三种方法：

在法则比较中，所有正数均大于零，而所有负数则均小于零。此外，正数总是大于所有负数。对于两个负数而言，其比较大小则是绝对值较大的那个实际上更小。

②数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数；

进行差值对比分析：当a与b的差值大于零时，a的数值大于b；若a与b的差值小于零，则a的数值小于b；若a与b的差值等于零，则a与b的数值相等。

五、有理数的减法

进行有理数的减法运算时，若要从某个数中减去另一个数，可以转化为加上该数的相反数。具体来说，a减去b，等同于a加上负b，即：a﹣b=a+（﹣b）。

方法指引：

①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；

在将实数转换成加法形式的过程中，需要注意对两个符号进行相应的调整：首先，运算符从减号变为加号；其次，减数的属性符号也要随之改变，即减数变为它的相反数。

在进行有理数的减法运算时，必须确保被减数和减数的位置不得互换；这是因为减法运算不具备交换律。此外，减法运算的规则不能与加法运算的规则相提并论，因为零加任何数的结果保持不变，而零减去任何数则需要按照特定的法则进行计算。

六、有理数的乘法

有理数相乘时，若两数符号相同，其乘积为正；若符号不同，则乘积为负，同时需将各自的绝对值相乘。

2.任何数同零相乘，都得0。

3.多个有理数相乘的法则：

若将几个非零数字相乘，其结果的符号将取决于负数因子的数量。若负数因子为奇数，则乘积将为负；若负数因子为偶数，则乘积将为正。

②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。

4.方法指引：

①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘；

在多个因数相乘的情况下，首先关注是否存在0这个因数以及乘积的符号，这样的处理方式既保证了计算的准确性，又简化了运算过程。

七、有理数的混合运算

在进行有理数的混合运算时，首先应当计算乘方，其次进行乘除运算，最后执行加减操作；在进行同级运算时，需遵循从左至右的顺序逐一计算；若存在括号，则需优先完成括号内的运算。

在进行有理数的综合计算时，务必留意运用各项运算规则，以此简化计算步骤。

有理数混合运算的四种运算技巧：

转化策略包括：首先，将除法运算转换为乘法；其次，将乘方运算转换为乘法；再者，在涉及乘除的混合运算中，一般会把小数转换成分数，然后进行约分计算。

在加减运算的混合计算中，我们通常会将相加结果为零的数对、分母相同的数对、相加结果为整数的数对以及乘积为整数的数对分别配对，然后进行求解。

采用分拆策略，首先将带分数拆解为一个整数部分与一个真分数的组合，接着进行计算。

巧妙地运用加法或乘法的运算规则，常常能让计算过程变得更加轻松便捷。

八、科学记数法—表示较大的数

科学记数法涉及将大于10的数值表示为a乘以10的n次方的形式，这里的a是一个仅含有一位整数位数的数，而n则是一个正整数。这种记数方式被称作科学记数法。具体而言，科学记数法的表达形式为a×10^n，其中a的取值范围是1到10之间但不包括10，而n则必须为正整数。

2.规律方法总结：

在科学记数法中，a的取值和10的指数n的表示方法至关重要。因为10的指数n比原数的整数位数少一。依照这一规律，我们首先需要统计原数的整数位数，然后就可以确定10的指数n的值。

科学记数法适用于大于10的数值表达，而对于绝对值超过10的负数，同样适用，只是需要在前面加上一个负号。

九、代数式求值

代数式的数值：通过将数字替换入代数式中的字母符号，经过计算得出的结果，即为我们所说的代数式的数值。

进行代数式的数值计算时，可直接将数值代入进行运算。若代数式存在化简的可能，应先进行化简步骤，然后再进行求值操作。

题型简单总结以下三种：

①已知条件不化简，所给代数式化简；

②已知条件化简，所给代数式不化简；

③已知条件和所给代数式都要化简。

十、规律型：图形的变化类

需先识别图形哪些部分已发生改变，并探究其变化遵循何种规则，在分析出各部分变化规律后，可直接运用这些规律进行求解。在探寻规律的过程中，需严谨观察、深入思考，并善于运用联想技巧来应对此类问题。

十一、等式的性质

1.等式的性质

性质1 等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；

性质二规定，对等式的任意一边进行相同的数乘法或以非零数进行除法操作，等式的平衡性依然保持不变。

通过运用等式的特性，对方程实施改写，目的是将方程的呈现方式转变为x等于a的模式。

应用时要注意把握两关：

①怎样变形；

②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的。

十二、一元一次方程的解

一元一次方程的解是指那些能够使方程的两边数值相同的未知数的具体数值。将这个解代入原始方程中，可以观察到方程的左右两边将保持平衡。

十三、解一元一次方程

解一元一次方程时，通常需要先消除分母，然后去除括号，接着进行移项操作，对同类项进行合并，最后将系数化为1。这些步骤仅是一般性的指导，具体解题时还需根据方程的具体特征灵活运用。实际上，每个步骤的目的都是为了将方程逐步转换成x=a的形式。

在求解一元一次方程的过程中，首先要对方程的形态和特性进行仔细观察。如果方程中包含分母，通常情况下，我们会优先考虑消去分母；当方程同时含有分母和括号，并且括号外的项在乘以括号内的各项后能够消除分母时，我们会先进行括号的去除操作。

在求解形如“ax+bx=c”的方程时，需先将方程左侧的同类项合并，形成（a+b）x=c的形式。这样，方程便逐步简化为ax=b的简明表达式，体现了化归的思想。在将ax=b中的系数化为1的过程中，必须做到精确计算：首先，要明确在求解x时，是除以a还是b，尤其是当a为分数时；其次，要准确判断符号，若a、b同号，则x为正，若a、b异号，则x为负。

十四、一元一次方程的应用

1.一元一次方程解应用题的类型：

①探索规律型问题；

②数字问题；

销售方面的问题涉及到利润的计算（即售价减去进价），以及利润率的确定（利润与进价的比值乘以100%）。

工程涉及的各项问题，包括①计算工作量需考虑人均效率、参与人数以及所需时间三个因素；②若一项工作需分阶段完成，则各阶段工作量之和即构成整个工作的总量。

⑤行程问题（路程=速度×时间）；

⑥等值变换问题；

⑦和，差，倍，分问题；

⑧分配问题；

⑨比赛积分问题；

水流航行中的速度计算涉及两个关键公式：顺流而行时，船速等于静水中的速度加上水流的速度；而逆流而行时，船速则是静水中的速度减去水流的速度。

在解决实际问题中运用方程的基本步骤是：首先，仔细审题，识别出题目中的未知数和所有已知条件；接着，直接设定所求的未知数，或者间接设定一个关键未知数为x；随后，利用x来构建表示相关量的表达式，并找出它们之间的相等关系，进而列出方程；然后，对方程进行求解；最后，给出答案。这一过程可以概括为：设定未知数、列出方程、求解方程、得出答案。

列一元一次方程解应用题的五个步骤

认真审阅题目，明确已知的数值和待求的未知数，并识别它们之间的相等联系。

设定未知数（x），根据具体情境，可以选择设定直接未知数（即明确需要求解的问题），或者设定间接未知数。

③列：根据等量关系列出方程；

④解：解方程，求得未知数的值；

在解答过程中，需验证未知数的数值是否准确，同时确保其与题目要求相符，并需详尽地表述出完整的答案。

十五、正方体相对两个面上的文字

处理这类问题通常的做法是依照图纸进行纸张折叠，或者在对展开图有充分理解的前提下进行直观想象。

以实物为依据，针对具体问题，对几何体的展开图进行细致分析，同时，通过将立体图形和平面图形相互转换，逐步形成空间感，这些步骤构成了解决这类问题的核心方法。

正方体的展开形式共有11种不同的情况，在仔细分析了这些平面展开图的多样性之后，应仔细辨别并准确找出哪两个面是相对的。

十六、直线、射线、线段

1.直线、射线、线段的表示方法

直线通常以一个小写字母来标识，例如写作l，或者通过两个大写字母来表示，这两个字母代表直线上的两个点，如直线AB所示。

射线，它是直线的构成要素之一，通常用一个较小的字母来标识，例如射线l；若用两个较大的字母来表示，则端点字母需置于前方，例如射线OA。请注意，在用两个字母表示时，端点的字母应置于首位。

线段，它由直线划分而来，通常用一个低位的字母来标记，比如称作线段a；若要指明其端点，则用两个字母来表示，这两个字母分别代表线段的两个端点，例如：线段AB（或者称作线段BA）。

2.点与直线的位置关系：

①点经过直线，说明点在直线上；

②点不经过直线，说明点在直线外。

十七、两点间的距离

1.两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离。

在平面上，任意选取的两点之间都存在一个特定的距离，这个距离实际上是指连接这两点的线段所具有的长度。在学习这一概念时，务必重视“长度”这两个字，因为它们表明这是一个具有大小属性的量。与线段这一图形不同，线段的长度才是衡量两点之间距离的标准。因此，我们可以说“画线段”，却不能直接说“画距离”。

十八、角的概念

角的定义是指由两条具有共同起点的射线所构成的图形，这个共同起点即是角的顶点，而这两条射线则分别构成了角的两条边。

角的表示方式有几种：可以用一个大写字母来表示，也可以用三个大写字母来表示。在三个字母中，顶点的字母必须放在中间。只有在顶点处只有一个角的时候，我们才可以用顶点处的那个字母来标记这个角，否则很容易混淆，不清楚这个字母代表的是哪个角。此外，角还可以用希腊字母（例如∠α，∠β，∠γ等）来表示，或者用阿拉伯数字（例如∠1，∠2等）来表示。

角是由射线绕其端点转动所构成的图形，若射线的始边与终边构成一条直线，则该角为平角；而当射线的始边与终边完全重合时，所形成的角即为周角。

角的度量单位通常包括度、分和秒。其中，1度等于60分，用符号表示为1°=60′；同样，1分又等于60秒，用符号表示为1′=60″。

十九、角平分线的定义

从角的尖端出发，该射线将此角均分为两个同等大小的角，这射线便被称为该角的角平分线。①角AOB等于角AOC与角BOC之和，可表示为：角AOB等于角AOC加角BOC。角AOC等于角AOB减去角BOC，这一关系可表示为：角AOC等于角AOB减去角BOC。

如果射线OC能够将角AOB平均分为三个相等的部分，那么角AOB的度数等于角BOC度数的三倍，或者说角BOC的度数是角AOB度数的十三分之一。

二十、度分秒的运算

1.度、分、秒的加减运算。

在执行时间单位加减运算时，需分别对度、分、秒进行相应的加减操作，进行分秒相加时，若数值达到60，则需进行进位处理；而在进行减法运算时，若遇到不足60的情况，需先从更高位借1，然后转化为60进行计算。

2.度、分、秒的乘除运算：

①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位。

进行除法运算时，需先将度、分、秒依次分离，随后将每次的余数转化为下一级单位，以此类推，继续进行除法操作。

二十一、由三视图判断几何体

通过三视图来构想几何体的形态，首先，需依据主视图、俯视图和左视图分别想象出几何体的正面、顶部以及左侧面的轮廓，接着，将这些局部形状综合起来，以形成对整体形态的全面理解。

想象通过物体的三个视图来推断出几何体的具体形态具有一定的挑战性，但我们可以通过以下几种方法来进行深入分析：

依据主视图、俯视图以及左视图，我们可以想象出该几何体的正面、顶部和侧面的轮廓，同时也能推断出其长度、宽度和高度。

②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；

③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；

通过三视图绘制几何体和从几何体绘制三视图的相互转换，进行反复实践，持续归纳总结技巧。