最新初三数学上册知识点总结，二次根式相关内容你知道吗？

最新初三数学上册的知识点总结

在学习过程中，我们肯定都遇到过重点内容吧！这些内容通常指的是某个章节中的关键信息、核心要点、重要部分。那么，具体有哪些知识点呢？现在，我来为大家分享一份最新整理的初三数学上册知识点汇总，敬请阅读，期待大家的喜爱。

第一单元二次根式

1、二次根式

式子叫做二次根式，被开方数a必须是非负数。

2、最简二次根式

如果一个二次根式的开方数由整数构成其因数，且其因式为整式；同时，该开方数中不含有能够被完全开方的因数或因式，那么这种二次根式便被称作是最简二次根式。

化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：

若开方数本身为分数、小数或分式，需首先运用商的算术平方根特性，将其转换为分式形式；接着，通过分母有理化手段进行化简。

若遇到开方时的被开方数为整数或整式，需先进行因数或因式的分解，随后将那些能够完全开方的因数或因式提取出来。

3、同类二次根式

将多个二次根式化简至最简形式后，若它们的开方数一致，则这些二次根式便被称为同类二次根式。

4、二次根式的性质

5、二次根式混合运算

二次根式的运算遵循与实数运算相同的顺序，即先进行乘方运算，接着执行乘除操作，最后进行加减运算；若存在括号，则需优先计算括号内的内容，或先进行括号的去除。

第二单元一元二次方程

一、一元二次方程

1、一元二次方程

这种方程包含一个未知的变量，且该变量的最高幂次为2，我们称之为一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式

该方程式具有以下特点：等号左侧包含一个由未知数x构成的二次多项式，共含有十一个项；等号右侧则为数字零。在这个多项式中，最高次项为二次项，其系数用字母a表示；一次项的系数用字母b表示，一次项本身为bx；而常数项则用字母c来表示。

二、一元二次方程的解法

1、直接开平方法

2、配方法

他领域中也发挥着关键作用，如代数、几何等。

3、公式法

4、因式分解法

因式分解手段被运用来寻找方程的解，此方法简便且易于操作，因而成为求解一元二次方程时最为普遍采纳的技术。

三、一元二次方程根的判别式

根的判别式

四、一元二次方程根与系数的关系

第三单元旋转

一、旋转

1、定义

将图形以某点O为轴心进行角度调整的变换操作称为旋转，此点O被称作旋转的轴心，而调整的角度则被称为旋转的角度。

2、性质

1对应点到旋转中心的距离相等。

2对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

二、中心对称

1、定义

将某个图形以特定点为轴心旋转半圈，若旋转后该图形能与初始图形完全重合，则该图形被称为中心对称图形；而那个旋转中心点，便是其对称的中心所在。

2、性质

1关于中心对称的两个图形是全等形。

对于中心对称的图形而言，其对称点之间的连线必定穿过对称中心，同时该连线也被对称中心所等分。

针对中心对称的图形而言，其对应的线段要么相互平行，要么位于同一条直线上，并且长度完全一致。

3、判定

若两个图形的对应点连线均穿过一个特定点，且该点将连线等分，则这两个图形以该点为对称中心。

4、中心对称图形

若将某个图形绕特定一点旋转至180度，且旋转后的图形与初始图形完全重合，则该图形被称为中心对称图形；而此点正是该图形的对称中心所在。

考点五、坐标系中对称点的特征

1、关于原点对称的点的特征

2、关于x轴对称的点的特征

当两个点在x轴上对称时，它们的x坐标值相同，而y坐标值则互为相反数，换言之，点P(x,y)在x轴上的对称点P'(x,-y)便具有这样的坐标特性。

3、关于y轴对称的点的特征

第四单元圆

一、圆的相关概念

1、圆的定义

在各个平面之中，当线段OA以其固定的端点O为轴心进行一周的旋转时，端点A的移动轨迹所构成的形状即为圆。该端点O被称为圆心，而线段OA则被称作半径。

2、圆的几何表示

以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”

二、弦、弧等与圆有关的定义

1弦

连接圆上任意两点的线段叫做弦。如图中的AB

2直径

经过圆心的弦叫做直径。如途中的CD

直径等于半径的2倍。

3半圆

圆周上任意直径的起始和结束点将圆分割为两个弧段，这两个弧段中的每一个均被称作半圆。

4弧、优弧、劣弧

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

符号“”用于表示弧，由点A和点B构成的弧可以写作“”，其读法为“圆弧AB”或者“弧AB”。

优弧是指超过半圆的弧线，通常用三个字母来表示；而劣弧则是指小于半圆的弧线，一般用两个字母来标识。

三、垂径定理及其推论

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论一指出：当一条弦被平分时，该弦并非直径，且该直径并不垂直于该弦；同时，这条直径也不与平分弦所对应的两条弧相交。

2弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

当一条直径将弦所对应的弧等分时，它不仅垂直于该弦，而且还将弦所对的另一弧也进行了等分。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为：

过圆心

垂直于弦

直径平分弦知二推三

平分弦所对的优弧

平分弦所对的劣弧

四、圆的对称性

1、圆的轴对称性

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

1、圆心角

顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、弦心距

从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

在相同的圆或等半径的圆里，相等的圆心角会对应相等的弧，同时也会对应等长的弦，并且这些弦到圆心的距离也是相等的。

在同一个圆或相等的圆中，若圆心角、弧、弦或弦心距中的任意一组数值相等，则这些量对应的其余部分也将一一对应相等。

六、圆周角定理及其推论

1、圆周角

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2、圆周角定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论一指出，对于同一条弧或长度相等的弧，它们所对应的圆周角是相同的；而在同一个圆或半径相等的圆中，如果圆周角相等，那么它们所对应的弧也是等长的。

推论二表明，当一个圆周角由半圆或直径所对应时，该圆周角为直角；同时，如果一个圆周角恰好是90度，那么与之对应的弦便是直径。

推论三表明，若一个三角形的一侧中位线长度恰好是那条边长度的一半，则该三角形必定为直角三角形。

七、点和圆的位置关系

设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：

d=r点P在⊙O上;

d>r点P在⊙O外。

八、过三点的圆

1、过三点的圆

不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2、三角形的外接圆

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

3、三角形的外心

三角形的外接圆圆心位于三角形三条边的垂直平分线的交汇处，这一交点被称为该三角形的外心。

4、圆内接四边形性质四点共圆的判定条件

圆内接四边形对角互补。

九、反证法

若我们首先假定命题的结论并非真实，接着通过一系列的推理论证，发现由此产生的矛盾，进而确认我们的初始假设是错误的，最终确认原命题的正确性，这种证明技巧被称作反证法。

十、直线与圆的位置关系

直线和圆有三种位置关系，具体如下：

当一条直线与一个圆恰好有两个共同的接触点时，我们称这种情况为直线与圆的相交。在这种情形下，那条直线便被称作圆的割线，而这两个共同点则被定义为交点。

直线与圆仅相交于一点，便称为直线与圆相切，此时该直线便被称作圆的切线；若直线与圆无任何交点，则称之为直线与圆相离。

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：

直线l与⊙O相交d

直线l与⊙O相切d=r;

直线l与⊙O相离d>r;

十一、切线的判定和性质

1、切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

2、切线的性质定理

圆的切线垂直于经过切点的半径。

十二、切线长定理

1、切线长

在圆周外任意选取一点，该点与圆相切的切线，从该点到切点的直线段长度，即定义为该点到圆的切线长度。

2、切线长定理

从圆的外侧某一点出发，画出与圆相切的线条，这两条切线的长度相等，且该点与圆心的连线恰好将这两条切线之间的角度一分为二。

十三、三角形的内切圆

1、三角形的内切圆

与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

2、三角形的内心

三角形的内切圆圆心位于三角形的三条内角平分线的交汇处，这个交点被称为三角形的内心。

十四、圆和圆的位置关系

1、圆和圆的位置关系

若两个圆之间无任何交点，则称它们相互分离。这种分离状态又可细分为两种情况：一是外离，即两圆完全不在彼此的范围内；二是内含，即一个圆完全位于另一个圆的内部。

若两个圆形图形仅共享一个交点，则可称它们相互接触。这种接触状态又可细分为两种类型：一种是外切，即两圆在外部相接触；另一种是内切，即一个圆在另一个圆内部与之接触。

如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

2、圆心距

两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

3、圆和圆位置关系的性质与判定

设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么

两圆外离d>R+r

两圆外切d=R+r

两圆相交R-r

两圆内切d=R-rR>r

两圆内含dr

4、两圆相切、相交的重要性质

若两个圆相互接触，其接触点必然位于它们连线的垂直线上，这两个圆形成轴对称的图形，而对称的轴线正是它们之间的连线；对于相交的两个圆，其连线将垂直并平分它们的公共弦。

十五、正多边形和圆

1、正多边形的定义

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2、正多边形和圆的关系

将圆形等分出若干段相等的弧线，便能构造出圆的内接正多边形，而该圆则成为该正多边形的外接圆。

十六、与正多边形有关的概念

1、正多边形的中心

正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

2、正多边形的半径

正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

3、正多边形的边心距

正多边形中心至其任一边的直线距离，被定义为该正多边形的边心距。

4、中心角

正多边形的一条边对应的外接圆圆心所形成的角，我们称之为该正多边形的中心角。

十七、正多边形的对称性

1、正多边形的轴对称性

所有正多边形均具备轴对称的特性。每个正n边形拥有n条对称轴，这些对称轴均穿过正n边形的中心点。

2、正多边形的中心对称性

正多边形若边数成双，则该图形具备中心对称性，其对称点恰好位于正多边形的中心位置。

3、正多边形的画法

先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

十八、弧长和扇形面积

1、弧长公式

n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为

2、扇形面积公式

其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。

3、圆锥的侧面积

其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。

此处内容超出了大纲规定，然而，它对于提升学生的智力水平以及优化他们的数学思维方式具有显著的促进作用。

1、相交弦定理

2、弦切角定理

弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。

弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。

即：∠BAC=∠ADC

三角形的外心定义：

外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。

外心定理表明，三角形的每一边的垂直平分线都会汇聚于一个特定的点。这个特殊的点被称为三角形的外心。

三角形的外心的性质：

三角形的三条边各自的中垂线在空间中相交于一个点，这个点正是构成三角形外接圆圆心的位置。

对于任何特定的三角形，都存在一个且仅存在一个外接圆，其圆心即为该三角形的外心。然而，对于同一个圆，可以内接无数个三角形，而这些三角形的外心位置是相同的。

3、锐角三角形的外心在三角形内；

钝角三角形的外心在三角形外；

直角三角形的外心与斜边的中点重合。

在ABC中

4、OA=OB=OC=R

在三角形BOC中，角BOC的度数是角BAC的两倍，而在三角形AOB中，角AOB的度数是角ACB的两倍，同样地，在三角形COA中，角COA的度数也是角CBA的两倍。

6、SABC=abc/4R

单项式与多项式

由数字与字母相乘构成的式子，若包含乘方运算，则称为单项式；同样，单个的数字或字母本身也属于单项式范畴。

单项式中的数字部分被称为该单项式或字母部分的数字系数，通常简称为系数。

当一个单项式的系数是1或—1时，“1”通常省略不写。

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

若在多个单项式中，不论其系数是否一致，只要涉及的字母及其指数完全一致，这些单项式便被称作同类单项式，简称为同类项；此外，这些同类项中的所有常数项也属于同类项。

1、多项式

有有限个单项式的代数和组成的式子，叫做多项式。

在多项式中，每一个单独的代数表达式被称为多项式的组成部分，其中不包含任何字母的组成部分被称为常数部分。

单项式可以看作是多项式的特例

对相同类型的单项式进行系数的加减运算，同时保持单项式中字母的幂次指数不变。

在多项式中，不同未知数的数量被称为该多项式的元数；合并同类项后，多项式中的单项式数量则称为项数；而其中次项的次数，则构成了该多项式的次数。

2、多项式的值

多项式实际上是由加法、减法、乘法和乘方等运算，将已知的数值与未知的变量结合而成的表达式。

3、多项式的恒等

针对两个一元多项式f(x)和g(x)，若在未知数x取任意数值a的情况下，这两个多项式计算出的结果均相等，即f(a)=g(a)，则这两个多项式便被视为恒等的多项式，并可以用符号f(x)=g(x)来表示，或者更简洁地写作f(x)=g(x)。

若函数f与函数g相等，则对于任意一个数a，必然满足f(a)等于g(a)。

若fx与gx相等，则这两个多项式中的相同次幂项的系数必然彼此相同。

4、一元多项式的根

通常情况下，那些能够使得多项式fx的数值变为零的未知数x的取值，我们称之为多项式fx的根。

多项式的加、减法，乘法

1、多项式的加、减法

2、多项式的乘法

进行单项式相乘时，需将各单项式的系数相乘，构成乘积的系数；若存在相同的字母因式，则需连同其指数一并作为乘积的一个因式。

3、多项式的乘法

在多项式与多项式相乘的过程中，首先，需要将一个多项式的每一项分别与另一个多项式的各项相乘；接着，将所得的乘积全部加总。

常用乘法公式

公式I平方差公式

a+ba—b=a^2—b^2

两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。

不等式的概念

1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

对于一个包含未知数的不等式，任何满足该不等式的未知数的具体数值，均可称之为该不等式的解。

对于包含未知数的不等式，其所有可能的解所构成的总体被称为该不等式的解集，通常简称为解集。

4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

5、用数轴表示不等式的方法。

不等式基本性质

若对不等式的两边同时进行加法或减法运算，且加或减的数或整式相同，则不等式的符号方向保持不变。

2、不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。

4、说明：

在一元一次不等式中，与等式不同，等号并非固定不变，而是会根据加法或乘法的运算过程而发生变动。

若将不等式与零相乘，则不等号需转换为等号。在解题过程中，若需求解乘数，需先检查题目中是否存在一元一次不等式。若存在，则该不等式乘数非零；若不存在，则该不等式无法成立。

一元一次不等式

一元一次不等式的定义通常涉及一个未知数，其指数为1，并且不等式的两边均为整式表达。

解一元一次不等式的常规流程包括：首先消除分母，接着去除括号，然后移动不等式中的项，紧接着合并同类项，最后将含有未知数x的项的系数化为1。

一元一次不等式组

一元一次不等式组，是由若干个一元一次不等式组合而成的，这种组合形成了一个全新的数学概念。

几个一元一次不等式的解集的交集，我们称之为构成这些不等式的组合所形成的一元一次不等式组的解集。

3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

若不存在任何数值x能够使得该不等式组中的所有不等式同时得到满足，那么我们便称该不等式组没有解，或者说其解集为空。

5、一元一次不等式组的解法

1分别求出不等式组中各个不等式的解集。

通过数轴进行求解，找出这些不等式的解集的交集，也就是该不等式组的解集所在区域。

6、不等式与不等式组

不等式：

①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。

③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。

④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

7、不等式的解集：

①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

③求不等式解集的过程叫做解不等式。