人教版八年级下册数学知识点总结
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八下数学知识点总结
第十六章分式
16.1分式
若A、B代表两个整式，且其分母包含字母，则该式子被称为分式。
2.分式有意义的条件：分母不为零。
分式等于零的必要条件包括：首先，分子的值为零，即满足条件eq\o\ac(,1)；其次，分母的值不能为零，即需满足条件eq\o\ac(,2)。
分数的根基特性体现在：当分式的分子和分母同时乘以或除以一个非零的整式时，该分式的数值保持不变。
用式子表示为：（）
当一个分式的分子和分母之间不存在任何共同因子时，我们将其称为最简分式。
化简分式的方法是：首先对分子和分母进行因式分解，然后消去公因式。
将不同分母的分数转换为与原分数等价，但分母相同的分数，这一过程称为分式的通分。
通分步骤包括：首先，对每个分式的分母实施因式分解；其次，确定所有分母的最简公分母；最后，依据分式的特性，将各分式转换为具有相同分母的形式。
则:
5.负整数指数幂：=（a≠0，n是正整数）
6.整数指数幂性质：同正整数指数幂运算性质
（1）同底数的幂的乘法：；
（2）幂的乘方：;
（3）积的乘方：；
（4）同底数的幂的除法：(a≠0)；
（5）商的乘方：；(b≠0)
科学计数法是一种表达数字的方法，它将数字表示为a乘以10的n次幂的形式，其中a的绝对值在1到10之间，n是一个整数。
16.3分式方程
1.分式方程：分母中含未知数的方程叫做分式方程。
2.解分式方程：
eq\o\ac(,1)的实质在于，对等式两边进行操作，即同乘以一个整式（即最简公分母），从而将原本的分式方程转换成整式方程。
eq\o\ac(,2)步骤：首先进行化简，若方程可化简则先化简；接着，将方程两边同时乘以最简公分母，使其转化为整式方程；然后求解整式方程；最后进行验根操作（原因在于：在解分式方程的过程中，若最简公分母为0，则可能导致增根的出现，因此解分式方程时必须进行验根）。
3.增根的操作中，参数eq\o\ac(,1)的取值需确保最终的最简公分母等于0，同时，eq\o\ac(,2)的值需满足去分母后得到的整式方程的解。
在解决列方程应用题时，需要遵循以下步骤：首先，仔细审查题目；其次，设定未知数；接着，列出相应的方程；然后，求解方程；最后，给出答案。
应用题的基本分类中，eq\o\ac(,1)所指的行程问题，其核心公式为：路程等于速度与时间的乘积。
顺水逆水问题v顺水=v静水+v水v逆水=v静水-v水
eq\o\ac(,2)工程问题基本公式：工作量=工时×工效
反比例函数
17.1反比例函数
通常情况下，当y与x成反比关系，且k为一个非零常数时，我们称该函数为反比例函数。
反比例函数的解析式同样可以表示为另一种形式。对于自变量x，其取值涵盖了x0的所有实数值。相应地，函数的值域则包括了所有非零的实数。
反比例函数的图像呈现为双曲线形状，它不仅具备轴对称的特性，同时也具有中心对称的特点。具体来说，它拥有两条对称轴，分别是直线y=x和y=-x。此外，该函数图像的对称中心位于原点。
反比例函数
k的符号
K0
K0
图像
Ox
性质
①x的取值范围是x0，
y的取值范围是y0；
②当k0时，函数图像的两个分支分别
在第一、三象限。在每个象限内，
y随x的增大而减小。
①x的取值范围是x0，
y的取值范围是y0；
②当k0时，函数图像的两个分支分别
在第二、四象限。在每个象限内，
y随x的增大而增大。
k的几何含义在于，它代表反比例函数图形上任意一点，向x轴和y轴分别作出的垂线。
围成的矩形的面积。如图：S四边形OAPB=|k|
第十八章勾股定理
18.1勾股定理
勾股定理指出，在直角三角形中，若两条直角边的长度分别记为a和b，斜边的长度为c，则它们的平方和等于斜边的平方，即a的平方加上b的平方等于c的平方。
2.定理：经过证明被确认正确的命题。
3.勾股定理的证明方法：
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。
图（1）中，所以。
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。
图（2）中，所以。
采用第三种方法，可以将四个完全相同的直角三角形各自组合，形成如图（3）—1和（3）—2所展示的两个形状一致的方形。
在（3）—1的情况下，甲区域的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积之和。
在（3）—2的情形下，乙和丙两个区域的面积总和等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积之和。
所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.
方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。
，所以。
18.2勾股定理的逆定理
勾股定理的逆命题表明，只要一个三角形的三边长度a、b、c符合a的平方加上b的平方等于c的平方这一条件，那么这个三角形便可以确定为直角三角形。
原命题与逆命题的定义如下：若两个命题的假设与结论互为对立，则这两个命题被称为互为逆命题。其中，一个命题被称为原命题，与之相对的命题则称为其逆命题。
第十九章四边形
19.1平行四边形
1.平行四边形：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的特性包括：其一，相对的边长是相等的；其二，相对的角也是相等的。
eq\o\ac(,3)平行四边形的对角线互相平分。
（归纳：看性质从边、角、对角线三方面来看）
平行四边形的识别标准如下：首先，四边形的两对相对边必须平行；其次，根据这一特性，这样的四边形即可被认定为平行四边形。
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。
三角形的中位线与三角形的第三边保持平行关系，同时其长度恰好是第三边长度的一半。
19.2特殊的平行四边形
1.矩形：有一个角是直角的平行四边形。
矩形的特征包括：其四个角均为直角；此外，矩形的两条对角线彼此相等且互相分割。
3.直角三角形性质：
在直角三角形里，若其中一个角是30度，则该30度角所对的直角边长度恰好是斜边长度的一半。
在直角三角形中，斜边上的中线的长度恰好是斜边长度的一半。
矩形的判定条件为：若一个平行四边形中存在一个直角，则该平行四边形即为矩形。（定义）
eq\o\ac(,2)对角线相等的平行四边形是矩形。
eq\o\ac(,3)有三个角是直角的四边形是矩形。
菱形是一种特殊的平行四边形，其特点在于拥有一组相邻的边长度相等。计算菱形的面积时，我们可以采用以下公式：面积等于对角线a与对角线b乘积的一半，即S菱形=1/2×ab。
6.菱形的性质：eq\o\ac(,1)菱形的四边都相等；
菱形的两条对角线彼此成直角相交，同时每一条对角线都能将相邻的两个角各自平分一半。
菱形的识别标准：若一个平行四边形的相邻两边长度相等，则该平行四边形即为菱形。（定义）
eq\o\ac(,2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
eq\o\ac(,3)四条边相等的四边形是菱形。
8.正方形：四条边相等，四个角相等。
正方形兼具矩形与菱形的特性，因此，它继承了矩形的属性，同时也具备了菱形的特征。
正方形的确认标准：若菱形的对角线长度相等，则该菱形即为正方形。
eq\o\ac(,2)有一个角为直角的菱形是正方形。
eq\o\ac(,3)对角线互相垂直的矩形是正方形。
eq\o\ac(,4)一组邻边相等的矩形是正方形。
一组邻边长度相等的平行四边形，若其中一角为直角，则该平行四边形即为正方形。
对角线彼此成直角并且长度相等的四边形，即eq\o\ac(,6)，被定义为正方形。
当四边形的对角线彼此成直角，并且这两条对角线不仅等长而且互相平分时，该四边形即为正方形。
一组相邻边长度相等的四边形，若其中三个角均为直角，则该四边形即为正方形。
19.3梯形
1.梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
2.等腰梯形：两腰相等的梯形。
等腰梯形的特性表现为：在相同的底边上，其两个角的大小是相等的。
eq\o\ac(,2)等腰梯形两条对角线相等。
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