解析几何改变数学研究方法，哈雷预言彗星再现

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解析几何对数学研究方法产生了根本性的变革。在古代，人们普遍认为彗星的出现是不吉利的征兆。然而，到了17世纪，英国天文学家哈雷在计算彗星轨道的过程中，发现了1682年、1607年和1531年观测到的彗星具有相同的轨道。他推断这三颗彗星实际上是同一颗彗星，并预测它将在1758年底或1759年初再次显现于天空。年初再次现身。1759年，那颗彗星如预期般显现。尽管哈雷在1742年已经离世，但那颗彗星依然如期而至。

然而，尽管他已离世多年，为了缅怀他的贡献，这颗彗星被命名为“哈雷彗星”。它，哈雷彗星，拥有一个独特的回归周期，长达76年。上一次它的归来发生在1986年。椭圆思考题：折纸游戏相关的问题，幻灯片10展示了椭圆的折纸方法。首先，准备一张纸片，如图1和图2所示。在这两张图中，点代表圆心，而其他点则代表圆内除圆心外的任意位置。接下来，将圆纸片进行翻折，确保翻折后的圆弧能够穿过图2中的点。完成翻折后，用笔将折痕涂上颜色。用画笔为折痕增添色彩，然后按照之前的步骤，环绕圆心画一圈。重复这一动作，再次环绕圆心画一圈。仔细观察结果。

抵达了何处？需深思其因由。观察所得何物？需深思其缘由。在圆锥截面的两边各置一球，这两球均与截面紧密贴合（切点即为它们贴合截面之处），并且与圆锥面紧密贴合，从而生成了两个圆形O1和O2。设M为平面与圆锥面相交的截线上的任意一点，从该点出发，通过M点作圆锥面的一条母线，此母线与圆锥面的另一条母线相交于P、Q两点。此时，线段MQ、MF、MP、MF的长度之比为21，而线段PQ、MQ、MP、MF的长度之比同样为21。根据椭圆的定义，平面内任意一点到两个定点F1、F2的距离之和为常数（该常数大于F1与F2之间的距离）的点的轨迹即为椭圆。

4、离定点的点的运动轨迹被称为椭圆，椭圆上有两个固定的点，这两个点被称为椭圆的焦点，而这两个焦点之间的距离则被称作椭圆的焦距。例如，尝试使用合适的方法绘制以两个定点F1和F2为焦点的椭圆（1）在保持绳长恒定的前提下，调整两个图钉间的距离，观察所绘制的椭圆会有何变化？所绘制的椭圆发生了哪些变化？当两个图钉间的间隔与绳索长度相等之际，所形成的图形究竟为何？究竟是什么？若两枚图钉固定不动，绳索长度能否缩短至小于图钉间的间隔？在这样的条件下，是否还能绘制出图形呢？

5、形吗？无轨迹，无轨迹线线，段段，随着两定点间的距离逐渐减小，椭圆的形状越来越接近圆形；尤其是当两个点完全重合时，椭圆便成为了一个完美的圆形。相反，若两定点间的距离逐渐增大，椭圆则会变得越来越扁平。在第二种情况下，平面与圆锥的交线由两条曲线构成，这些曲线交点上的任意一点到平面内的两个定点F1和F2的距离之差的绝对值恒等于一个常数。通常来说，平面内两个定点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数（小于F1、F2的距离），这些点的轨迹被称为双曲线。

定点F1和F2被称为双曲线的焦点，这两点之间的距离称为双曲线的焦距。在平面XY0F1F2内，那些到定点F和定直线l（F不位于直线l上）距离相等的点的集合，构成了抛物线的轨迹。F点被称作抛物线的焦点，而l线则被称为抛物线的准线。抛物线的定义指出，其轨迹就是抛物线本身。若点M、N、F、l满足条件1，即FM与lN的长度相等，则可进行如下证明：已知B、C为两个固定点，且BC的长度为4，同时三角形ABC的周长为10。求证：定点A在一个在一个椭圆上。椭

7、圆上。解解：如图所示，10和4的周长相等，同时满足ABC、BCA、CAB、ACAB、ACABA、BACAB的条件，焦距为6的椭圆上存在一定点CBABCA。练习：1.在平面内，到两个定点F1(-4,0)和F2(4,0)的距离之和等于10的点的轨迹是（）A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 线段2.在平面内，到两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离之差的绝对值等于2的点的轨迹是（）A. 椭圆 B. 双曲线 C. 线段 D. 两条射线3.平面内的点

在平面中，若一个点F位于定直线L上，那么所有与点F和直线L等距离的点的集合构成一条直线。以点F（0，1）为焦点，直线y=-1为准线，那些到焦点和准线距离相等的点的轨迹是一条抛物线。在折纸游戏中，通过将一张纸片折叠，可以创造出椭圆形状，如图1和图2所示，其中点表示圆心，点表示圆内除圆心以外的任意一点。

在圆的中心，任意选取圆内的一个点（非圆心点），将圆的纸片进行折叠，确保折叠后的圆弧能够覆盖到该点（如图2所示），随后用笔将折痕涂上颜色。重复此操作，沿着圆心旋转一圈。在此过程中，仔细观察所发生的变化，并思考其原因。如图4所示，以折痕为基准，设折痕为，另设折痕为，则点关于此直线对称的点必然位于圆弧上，该圆弧与直线相交于一点。连接这两个点，并延长至交点，则连接线段的长度等于半径的长度（一个固定值）。因此，该点的轨迹形成了一个椭圆（一个固定形状）。此外，由于折痕是椭圆的切线，根据对称性可以推断出FPH等于QPH等于OPK。根据光学原理，经过焦点F的光线在椭圆上反射后，必定会通过焦点O。北京天坛公园中的回音壁，其设计灵感源自这一原理。该结构的设计，正是基于这一原理。举例来说，若动圆M经过定圆C外部的一点A，并且与定圆C相切，那么我们需要探究的是，动圆的圆心M所形成的轨迹究竟是什么样的图形。在已知条件ABC中，点B的坐标为（-3，0），点C的坐标为（3，0），并且线段AB、BC、AC构成等差数列。首先，需要证明点A的运动轨迹位于一个椭圆上；其次，需要给出该椭圆焦点的具体坐标。

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