八年级数学上册知识点总结：第十一章三角形的关键要点

八年级数学上册知识点总结归纳

八年级上册数学总结

第十一章三角形

三角形是一种平面图形，它由三条线段构成，这三条线段不在同一条直线上，并且每条线段的首尾都与另外两条线段相连接，形成一个封闭的形状。

要求会的题型：①数三角形的个数方法：分类，不要重复或者多余

三角形里关键的几条线，包括角平分线，中线，以及高

（1）三角形的三条高的交于一点——三角形的垂心

直角三角形的顶点就是高的交点，锐角三角形的高的交点在内部，钝角三角形的高需要从顶点向对边延长，它们的交点在三角形的外部

（2）三角形三条中线的交于一点——三角形的重心

性质：三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。

（3）三角形三条角平分线的交于一点——三角形的内心

三角形的角平分线是一段有限的线,角的平分线则是一条无限延伸的射线。两者的定义不同,前者仅包含三角形内部的部分,后者会从角的顶点向一个方向无限延伸。这种差异导致它们在几何性质和实际应用中存在区别。

3、三角形的稳定性，四边形的不稳定性

4、三角形的表示：用符号“

”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“

ABC”，读作“三角形ABC”。

5、三角形的分类

三角形按边的关系分类如下：

三边不相等三角形

一个三角形的两条边长度不一样，另一条边和这两条边都不一样

等腰三角形

底和腰相等的等腰三角形（等边三角形）

三角形按角的关系分类如下：

直角三角形（有一个角为直角的三角形）

三角形,三个角都小于九十度的三角形

斜三角形

钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）

将边和角结合起来，便形成了一种特殊的三角形，即等腰直角三角形，这种三角形属于直角三角形，并且它的两条直角边长度相等。

6、三角形三边的关系

（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

可以得出结论：三角形的任意两条边长度之差，都要小于第三条边的长度，只要符合这两个条件中的任意一个条件。

用公式来描述就是：设三角形三条边的长度分别为 a，b，c，那么 a 加上 b 大于 c，或者 c 减去 b 小于 a

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：

提供三条线段的尺寸或三个线段的比率，用以判定这三条线段是否能够构成三角形：其中最短的一条边与次短的一条边相加，其和要大于最长的一条边

确定第三边长度界限的方法：第三边长度界限，要大于两数之差，要小于两数之和

提供若干线段的尺寸，需要从中挑选三个线段，它们能够构成一个三角形，并且彼此之间不重复也不遗漏

7、三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：  ①三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和

②三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

8、直角三角形性质：直角三角形的两个锐角互余。

判定：有两个锐角互余的三角形是直角三角形

9、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形

一个多边形，假如任意一条边延伸出去的直线，能让整个图形都处在该直线的某个固定方位上，那么这个多边形就属于凸多边形类型。

一种特殊的多边形，其所有内角都一样大，所有边都一样长，例如正三角形、正方形以及正五边形等。

四条边长度相同的四边形未必是正方形，四个角角度相同的四边形也未必是正方形，这两个条件必须同时满足才行。

多边形中，一些线段将不相邻的顶点连接起来，这些线段被称为多边形的对角线。

从一个n边形的某个角点出发，能够画出n减去3条连接非相邻顶点的线段，这些线段将多边形分割成n减去2个小三角形。

(2)n边形共有

条对角线。

多边形内角和的规律是这样的，一个有n条边的图形，其内部所有角度的总和，可以用一个公式来计算，那就是180度乘以n减去2的结果

多边形内角和定理具有两种主要用途，一是根据边数推算角度总和，二是通过角度总和确定边数数量。

14、多边形的外角和等于360°.

外角公式可用于两种情形，第一种是知道外角的具体数值，从而推算出正多边形所包含的边数，第二种是知道正多边形的边数，据此计算出每个外角的大小。

(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：

多边形的内角总和与其边数存在关联，每增添一条边，内角总和便会增长180度。

②多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关。

类型一：多边形内角和及外角和定理应用

1．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？

设多边形有n条边，则其内角和为180°(n-2)，外角和为360°，根据题意得180°(n-2)+360°=1800°，解得n=10。

这个多边形去掉一个内角后，剩余内角总和为2750度，需要求整个多边形的内角总和是多少度

一个多边形的内角总和加上某个外角的度数等于1350度，需要计算这个多边形的边数是多少。

类型二：多边形对角线公式的运用

一个多边形若有20条对角线，那么它的边数具体是多少呢？

类型三实际应用题

如图，这辆车从P市出发，首先前往B市，接着前往C市，然后前往A市，最终回到P市，这辆车总共转向了多少角度？解决方法提示：依据多边形外角和的规律来计算。

如图所见，小亮从A点开始行进10米，然后向右转动15度，接着再行进10米，之后再次向右转动15度，如此循环进行，当他首次回到起始位置时，总共行走了__________米。

小华从A点开始行进，走了10米远，接着向右偏转36度，再走了10米远，之后再次向右偏转36度，他一直重复这样的动作，最终能否回到A点呢？如果可以，他走完整个回路时总共行进了多长的距离呢？如果不能，请说明原因。

第十二章   全等三角形

全等形是指两个图形可以完全吻合，一个图形通过平移、翻折、旋转，前后形态保持一致，依然全等

全等三角形用特定符号表示，该符号为“≌”，读作“全等于”。例如，三角形ABC全等于三角形DEF。

记录两个全等三角形时，一般要确保对应顶点的字母处于相匹配的位置，这样能更清晰地展示它们的对应关系。

找出相对应的边和角的方法：首先，找出最长的边，它就是相对应的边，接着，找出最短的边，它也是相对应的边；然后，找出最大的角，它就是相对应的角，最后，找出最小的角，它也是相对应的角。

（2）公共边（角）一般是对应边（角），对顶角一般是对应角

（3）字母顺序法：ABC≌DEF

（4）对应边所对的角是对应角，对应边所夹得角是对应角

（5）对应角所对的边是对应边，对应角所夹得边是对应边

4、全等三角形性质

（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。

（2）全等三角形的周长相等、面积相等。

全等三角形的对应边上的中线完全一样，角平分线也完全相同，高线同样相等。

5、三角形全等的判定

（1）“边边边SSS”：有三边对应相等的两个三角形全等

“边角边SAS”：存在两个三角形，它们的两条边以及夹角分别相等，这两个三角形完全相同

“角边角全等定理”：具备两个角及夹边相等这一条件的两个三角形，其形状完全一致。

“角角边AAS”：具备两个角以及一个角所对的边分别相等的特征的两个三角形，可以判定它们全等

斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，这种情况下，两个三角形完全一样，但仅限于直角三角形，书写时必须注明是直角三角形全等，用RTABC≌RTDEF来表示

注：SSA、AAA不能证明两个三角形全等

已知两边

6、三角形全等的判定     已知一边一角

已知两角

注：书写时注意顺序，角边的位置不要写错，找对对应边和对应角

角的平分线具有一个显著特点，那就是这条线段上的任意一点，到角的两条边所形成的距离是相等的，这个性质可以通过SSS全等定理来进行证明，从而得出结论

判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

证明两条线段长度一致的方式有：依据全等三角形得到对应边相等，根据角平分线定理进行判定

证明两个角度相等的途径包括，依据全等三角形得出相应角度一致，或者借助角平分线原理，又或者利用平行线的相关特性，还可以根据对顶角的相等规律来判断

第十三章  轴对称

一、             轴对称图形与轴对称

二、.轴对称的性质

以某直线为基准，相对的两个图形完全一致，它们的对应线段长度相同，对应角度数值相等。

当两个图形彼此映照于一条直线时，那条直线即为所有对应点连线的正中剖分线。

对称轴是轴对称图形的，任何两个对应点连线的，中垂线，将图形分成，两个全等的部分。

注：成对称轴的两个图形全等，但全等的两个图形不一定对称

三、线段的垂直平分线（中垂线）

1垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线

2.性质：垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等

确定：处于线段两端等距位置的点，位于该线段的正中间的直线上

四、画轴对称图形（直角坐标系中类似）

1、找——特殊点（对应点）

2、作——作特殊点关于直线的对称点（根据性质：垂直平分线）

3、连——连接各对应点

在直角坐标系里，若一个点的位置是x和y，那么它相对于x轴镜像反射后得到的点的位置坐标，就是x和负y。

点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为(-x,y)

注：做题时画出直角坐标系，描点后找出对应关系

六、等腰三角形知识点回顾

1.等腰三角形的性质

①.等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）

等腰三角形的顶角角平分线与底边中点连线重合，这条线段同时也是底边的垂直平分线。

③等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴

2、等腰三角形的判定：

当三角形内含两个相等的角时，与这两个角相对的两条边必然长度一致。

注：解题时注意分类讨论，底边和腰，底角和顶角

五、等边三角形知识点回顾

等边三角形的特性包括，它的三个内角完全一样，每个角都是六十度。

②等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴

等边三角形的判定方式有，依据定义，具备三条边长度一致这一特性的三角形即为等边三角形

②三个角都相等的三角形是等边三角形。

③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

注：等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质

3、直角三角形性质：①30°所对的直角边等于斜边的一半

②斜边上的中线等于斜边的一半

第十四章  整式乘除与因式分解

一、             幂的运算

1、同底数幂相乘：底数不变，指数相加。

（m、n为正整数）

2、幂的乘方：底数不变，指数相乘。

（m、n为正整数）

3、积的乘方：各因式乘方的积

（n为正整数）

4、同底数幂相除：底数不变，指数相减。

、a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）

5、零指数幂：a0＝1  （a≠0）

注：①a可以是有理数，单项式，多项式

③公式的正用，逆用，运用公式变形解题

二、整式的乘法

单项式与单项式相乘时，首先需要将数值部分合并，接着处理指数相同的底数，最后考虑剩余的独立项，整个过程要确保计算准确无误。

2、单项式乘以多项式：p（a+b+c）=pa+pb+pc

多项式与多项式相乘时，比如计算 a 与 b 的和，再乘以 p 与 q 的和，结果是将 a 乘以 p，再加上 a 乘以 q，接着加上 b 乘以 p，最后再加上 b 乘以 q。

注：①计算时注意符号，(-)加括号，运算顺序，不重不漏

②最后有同类项，要合并同类项

三、整式的除法

单项式相除时，首先计算系数的商，接着处理同底数的幂，最后处理剩余的单独项，整个过程分为三个步骤

2、多项式除以单项式：

注：①计算时注意符号，(-)加括号，运算顺序，不重不漏

②最后有同类项，要合并同类项

四、乘法公式：

①平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2

两个数的总和同它们之间的相减值相乘，就是这两个数的自乘之差的结果．

完全平方公式是：一个数与另一个数之和的平方等于这个数的平方加上这两个数乘积的两倍再加上另一个数的平方；一个数与另一个数之差的平方等于这个数的平方减去这两个数乘积的两倍再加上另一个数的平方。

两个数的相加或相减所得结果的平方，等于这两个数的各自平方数之和，再加上或减去这两个数的乘积的两倍。

注：①运用公式前看是否符合公式的结构特征

②找准那个数或式子代表公式里的a和b

五、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式

分解多项式与多项式乘法是彼此相反的转换，前者将和或差转化为乘积，后者则将乘积转换为和或差．

六、因式分解的常用方法．

1、提公因式法：公因式乘以另一个因式

分解因式首先要确定公共因子,系数方面就是各项数值的公约数

②字母——各项含有的相同字母

③指数——相同字母的最低次数

分解因式的基本方法：首先需要识别共同的因子，接着将这个因子提取出来，同时明确剩余的部分是什么

需要留意的是，分解公因式之后，剩余部分的元素个数要和开始的多项式元素个数相同，这个现象可以用来判断是否遗漏了部分元素。

注意：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；

多项式的首项系数为负数时，通常需要提取出负号，以便括号内首项的系数变为正数。

2、公式法

①平方差公式：   a2－b2＝ （a＋b）（a－b）

完全平方公式是：a的平方加上两倍的ab再加上b的平方等于a加b的平方，a的平方减去两倍的ab再加上b的平方等于a减b的平方

3、因式分解方法总结：①提——有公因式先提取公因式

②套——再用公式法

③查——必须分解到每个因式都不能分解为止

七、去括号加括号

1、括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号

2、括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号

加数a和加数b再加上加数c，等于加数a加上加数b和加数c的和，减数a减去减数b再减去减数c，等于减数a减去减数b和减数c的和

第十五章   分式

一、分式的定义

①A，B是两个整数  ②B中含有字母

注：

二、与分式有关的条件

①分式有意义：分母不为0（

②分式无意义：分母为0（

③分式值为0：分子为0且分母不为0（

④分式值为正或大于0：分子分母同号（

⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（

⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）

⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）

三、分式的基本性质

分式的分子和分母同时乘上或除以一个不等于零的单项式，分式的值保持不变。

字母表示：

，其中A、B、C是整式，

分式中的分子部分、分母部分以及整个分式的正负号，若调整其中任意两个，分式的最终结果不会发生变化，也就是说

注：在应用分式的基本性质时，要注意C

0这个限制条件和隐含条件B

0。

四、分式的约分

分式约分是指依据分式的基本性质，将分子和分母的共同因子消去的过程。

进行因式分解，分解分式的分子和分母，接着找出分子和分母的公共因子，最后将其约去。

分式的分子和分母若都是单项式，便能够直接进行约分，先约去分子和分母系数的最大公约数，再约去分子分母相同因子的最低次幂。

多项式的分子和分母在化简时，需要先将其分解成因式形式，然后进行约简操作。

4、最简分式：分子与分母没有公因式的分式

注：①约分的结果必须是最简分式或整式

②分子分母都是乘积的形式才可以约分

五、分式的通分

根据分式的基本性质，将多个异分母的分式逐一转化为具有相同分母且值不变的分式，这一过程称为分式的通分。

取各分母所有因子的最高次方相乘，得到的结果作为公分母，这个公分母被称为最简公分母。

找出最小公分母通常按以下顺序进行：首先确定系数部分，然后取所有分母系数的最小公倍数作为结果

②字母——各项出现全部字母

③指数——出现字母的最高次数

注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

六、分式的四则运算与分式的乘方

1、分式的乘除法法则

乘法运算时，将分子相乘的结果作为最终结果的分子部分，同时将分母相乘的结果作为最终结果的分母部分，这个计算过程可以写成如下形式：

除法运算中，需要将除数的分子分母互换，然后与被除数相乘，公式写作

一般步骤：确定符号——化除为乘——因式分解——约分

2、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子

3、分式的加减法则：

同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为

异分母的分式进行加减运算时，需要先进行通分处理，将它们转化为具有相同分母的形式，接着再执行加减操作。这个过程可以表示为

多项式与分式相加减时，可把多项式当作一个整体，多项式前带有负号，需加括号，视作分母为1的分式，然后进行通分。

4、 分式的混合运算的运算顺序

先进行乘方运算，然后执行乘除操作，最后处理加减运算，同等级别的运算按照从左至右的顺序进行，遇到括号时先计算括号内的内容，先算小括号，再算中括号，最后算大括号

注意：得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。

七、整数指数幂

1、

2、

3、

4、

、a≠0

5、

（a≠0）   6、

7、

）     其中m，n均为整数。

八、科学记数法

1、定义：小于

的数可以表示为

n为整数）

2、确定的方法：小数点的移动位数

九、解分式方程的步骤

首先需要消去分母，然后方程的每一侧都乘以各分母的最小公倍数，这样可能会出现增根的情况。

⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中

若最简公分母等于零，那么原方程没有解，这属于原方程的增根情况；若最简公分母不等于零，那么它就是原方程的正确答案。

形成多余解的原因在于，首先解出的是多项式方程的根，其次将这个根代入到最小公倍数中，其结果为零。

十、列分式方程

1、审——仔细审题，找出等量关系。

2、设——合理设未知数。

3、列——根据等量关系列出方程（组）。

4、解——解出方程（组）。注意检验

5、答——答题。

第二篇：八年级数学上册知识点总结(第十二单元)

第十二章 全等三角形

编者：肖潇

12.1 全等三角形

1. 全等形

能够完全重合的两个图形叫做全等形。

2. 全等三角形

完全一致的三角形称为全等三角形，相同的顶点称为对应顶点，相同的边称为对应边，相同的角称为对应角，比如三角形ABC和A′B′C′全等，其中A与A′，B与B′是相同顶点，记作ABC≌A′B′C′，读作ABC全等于A′B′C′。

3. 全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等，对应角相等。

12.2 三角形全等的判定

三角形全等条件的选择，其基本思路如下：

在判定三角形全等时需要明确是哪两个三角形，把能够证明它们全等的条件用大括号括起来，并在结果括号中注明所应用的判定方法。

在ABC和A′B′C′中

∴ABC≌A′B′C′（SSS）

关键题目包括第18页的第3题，第19页的第12题，第20页的第4题和第8题，第21页的第12题，第22页的第4题，第23页的第14题、第15题和第16题，以及第24页的第3题、第6题和第10题

12.3 角平分线的性质

（1）掌握角平分线的作法（见课本19页）

（2）角平分线的性质

角平分线上的点到角的两边的距离相等。

角平分线有个特点，那就是角里面某个点到角的两边距离一样，这个点肯定在角平分线上，是角平分线上的点。

遇到涉及角平分线的问题时，应当优先考虑从角平分线上的某个点出发，向角的两边分别引出垂线段。绘制垂线段的规范步骤是：经过特定的点，将线段与某个对象垂直相交，并且明确标注交点的位置，这个交点就是垂足。

（3）几个关于角平分线的结论

三角形的内心，即三角形三条角平分线的交点，与三角形三条边的距离完全相同。

三角形的面积，可以用内心到某条边的距离来表示，这个距离乘以三角形的周长，再除以二，结果就是三角形的面积。

重点题：Page 26 题7,8,10

单元考试前可以练习一下第28页的题目1, 2, 6, 8, 10, 11, 12，还有第29页的题目14。

做完后可以自己对照答案看一下，答案如下：

A选项，SSA方法无法确认两个三角形完全相同；B选项，此处30度未指明是底角还是顶角，因此无法判定；C选项，倘若该角为直角，就不能断定两个三角形相等；D选项，这是采用AAS方法证明两个三角形全等的正确说法。

根据图示可知一边与一角已经对应相等，依照SAS、AAS、ASA准则，能够确定另一条夹边也对应相等，因此①符合条件；还可以确定这一边的对角也对应相等，因此④符合条件；还可以确定另一个夹角也对应相等，因此③符合条件。综上所述选择B选项。

过D点画DH垂直于AC，垂足为H，角平分线上的点到角两边的距离一样长，因此DE等于DH，同时根据已知条件，斜边和一条直角边相等的两个直角三角形是全等的，可以确定DFE和DHG全等，由此得出ADG与AED的面积差值等于EDF面积的2倍，最终答案为

，选B选项。

8. 3    由题意得，

在ACB和FEC中

∴ACB≌FEC（AAS）

∴AC＝EF＝5cm

∴AE＝AC—EC＝3cm

三角形的面积可以用内心到某一边的垂直距离与该三角形周长的一半相乘来计算。因此SABC＝

根据基本图形3可知∠BPC的角度值等于某个特定的度数，这个度数是由图形中的其他角度关系所决定的，具体数值需要通过几何计算才能得出，而计算过程则依赖于图形所呈现出的几何性质和定理。

对；点P是三角形ABC的内心，它位于角BAC的角平分线上，因此线段AP平分角BAC，这没错；通过点P作线段PF垂直于边AB，交点为F，作线段PG垂直于边AC，交点为G，可以证明三角形PFD与三角形PGE全等，由此得出PD等于PE，这没错；再次添加辅助线，通过点P作线段PF垂直于边AB，交点为F，作线段PG垂直于边AC，交点为G，还作线段PH垂直于边BC，交点为H，借助前面的结论，可以得出BF等于BH，HC等于CG，DF等于GE，所以线段BD加上线段CE等于线段BC，这没错；根据前面的结论，线段BD加上线段CE等于线段BC，并且因为三角形PBD、三角形PBC、三角形PCE的高PF、PH、PG都相等，所以三角形PBD的面积加上三角形PCE的面积等于三角形PBC的面积，这没错。

12. 不能，可选①或③    证明过程略

提示：从点C向AN作垂线CF，垂足为点F，证明三角形CFD与三角形CEB全等，由此推导出结论。

祝大家考试顺利！！！