人教版初中八年级数学上册：第十一章三角形知识点汇总

（一）

人教版初中八年级数学上册各单元知识点汇总

（二）

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一、三角形

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由三条不在同一直线上的线段，按照首尾相接的方式组合而成的图形，被称为三角形。

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相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点

相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形的特性与表示

三角形有下面三个特性：(三角形是封闭图形)

(1)三角形有三条线段

(2)三条线段不在同一直线上

(3)首尾顺次相接

3、三角形的三边关系定理及推论

(1)三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

(2)三角形三边关系定理及推论的作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形

②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

4、三角形中的主要线段

三角形某个角的角平分线会与此角相对的边产生交点，从该角的端点到交点的线段，即为这个三角形的角平分线。

在三角形内部，存在一种特殊的线段，它起始于某个顶点，终止于该顶点所对边的中点位置，这种线段被称作三角形的中线，并且它能够将三角形的面积一分为二。

从三角形的某个角，向它的相对边引一条垂直线段，这条线段就是三角形的高线，也称作三角形的高。

三角形的面积= 1/2×底×高

三角形的高可能不在三角形内部，交点也可能不在三角形内部。

5、三角形的分类

三角形按边的关系分类如下：

三角形按角的关系分类如下：

连接边和角之后，会形成一种特殊的三角形，那就是等腰直角三角形，这种三角形属于直角三角形，并且它的两条直角边长度相等。

6、三角形的稳定性

三角形的构造是确定的，这种特性被称作三角形的稳固性。

三角形具有稳固的特性，这种特性在现实生产与日常生活中应用十分普遍，凡是需要具备稳定性的结构，通常都会设计成三角形的形态。

(3)四边形不具有稳定性。

三角形的符号为“Δ”，顶点为A、B、C的图形记作“ΔABC”，这个读作“三角形ABC”。

7、三角形的内角外角和定理及推论

三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：

①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

二、多边形

平面内的封闭图形称为多边形，它是由若干线段依次连接构成的。

2、多边形的分类：

多边形可以分成两种类型，一种是各边长度一致且各个内角也相同的，另一种是各边或内角不满足这种条件的。

多边形可以区分为凸形和凹形两种类型，凸形多边形也称作平面上多边形

一个多边形其中一条边无限延伸，形成一条直线，其他所有边都在这条直线的同一侧，这种多边形称为凸多边形，相对的则称为凹多边形。

正多边形是特殊的凸多边形。

n边形的结构特点：它的角点数量、边缘条数以及内部角度的总数，均与其边数相等。

常见的正多边形包括正三角形、正方形、正五边形和正六边形，这些图形的内部角度分别是六十度、九十度、一百零八度和一百二十度。

3、多边形的内角、外角和

(1)n边形的内角和=180°×(n-2)

(2)n边形的外角和=360°

一个多边形的内部连线数量为n乘以n减三再除以二，从某个顶点出发可以画出n减三条内部连线，这个多边形因此被分割成n减二个小三角形。

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第十二章：全等三角形

一、全等三角形

1、能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。

2、全等三角形有哪些性质

(1)全等三角形的对应边相等、对应角相等。

(2)全等三角形的周长相等、面积相等。

全等三角形的对应边上的中线、角平分线、高线都相等。

3、全等三角形的判定

两边和夹角对应相等的两个三角形全等，可以简称为“边角边”，这是几何学中的一个基本定理，用于判断两个三角形是否完全相同，依据的是它们的三条边长度一致，因此得名，也称为三边相等定理。

两边分别相等，夹角也相等，这样的两个三角形是完全相同的，可以简称为“SAS”

两角和夹边相等，可判定两三角形全等，简称角边角，或称ASA。

两个三角形具备两个角和其中一角所对的边分别相等，即可判定这两个三角形全等，这种判定方法称为角角边，可以简称为AAS

斜边和一条直角边相等的两个直角三角形全等，可以简称为“HL”。

注意：SSA和AAA不能判断两个三角形全等

4、方法指引—证明两个三角形全等的基本思路：

二、角的平分线

1、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

角平分线有个特点，那就是角里面某些点到角的两边距离一样，这些点肯定就在角平分线上，是角平分线上的点。

要证明角平分线，先看能否证明两个角相等，若不能，则向角的两边作垂线，证明两条垂线相等。

三、学习全等三角形应注意：

必须准确分辨“相对的边”和“相对边”，“相对的角”和“相对角”各自的含义。

判定两个三角形完全一致时，对应顶点的标记必须放置在相匹配的方位上

存在三个角相等的两个三角形未必全等,也存在仅有两边及其中一边所对角相等但形状不同的情形

要持续关注图形里隐藏的约束条件，比如 公共角，公共边，以及相对的角

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第十三章：轴对称

一、概念

将一个图形沿着一条直线对折，若直线两侧的部分能够完全吻合，该图形即为轴对称图形。这条直线即为它的对称轴。在这种情况下，我们也可以说这个图形相对于这条直线（沿轴）对称。

将一个图形沿着特定直线翻转，假如它能和另一个图形完全吻合，那么就表明这两个图形相对于这条直线对称。这条直线被称为对称轴。折叠后互相匹配的点是对应点，也称作对称点。

3、轴对称图形与两个图形成轴对称的区别和联系：

(1)轴对称图形与两个图形成轴对称的区别：

对称图形是指一个图形沿着特定直线对折之后，两侧的部分能够完全吻合；这种直线被称为对称轴；

两个图形的相对位置构成轴对称，意味着它们沿着特定直线对折后可以完全吻合，这个直线被称为对称轴。

(2)轴对称图形与两个图形成轴对称的联系：

将一个对称图形沿着对称线分割成两个部分，这两个部分相对于这条线对称。

把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。

4、轴对称的性质

①关于某直线对称的两个图形是全等形。

当两个图形沿着一条直线相互对应时，这条直线即为对称轴，它垂直于任意两个对应点连线的中间线段。

对称轴是轴对称图形中的特定线，它垂直且平分任意两个对应点连成的线段。

当两个图形的对应点连线被某条直线垂直平分时，那么这两个图形相对于这条直线呈现对称关系。

5、等式的性质

等式两边增加某个数值，或从中减去某个数值，等式依然成立，这不会改变等式的平衡状态

等式具有一个特性，即当其两边同时乘以某个特定的数，或者同时除以一个不等于零的数或表达式时，等式依然保持平衡，等号两边的值仍然相等

二、线段的垂直平分线

通过线段正中间并且跟这条线段成直角的直线，被称为这条线段的中分线，也称作正中分割线。

2、线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 。

3、与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。

三、作轴对称图形

作出轴对称图形，先找出原图里部分点关于对称线的对称位置，然后依次连接这些对称点，就能形成原图的镜像图形，要注意选取关键点进行绘制。

2、点(x , y)关于x轴对称的点的坐标为:(x,-y)

点(x , y)关于y轴对称的点的坐标为:(-x,y)

三角形三条边的垂直平分线汇集于一个点，该点到三角形三个顶点的间隔均等

四、等腰三角形

1、等腰三角形的性质：

①等腰三角形的两个底角相等(“等边对等角”)

②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合

等腰三角形属于轴对称图形，其顶角平分线同时也是底边的中垂线和高线，这条线就是它的对称轴，该图形仅有一条这样的对称轴。

3、等腰三角形的判定：

①如果一个三角形有两条边相等

当一个三角形的两个角大小相同，那么这两个角相对的边也会长度一样，这是等角对等边的性质。

五、等边三角形

等边三角形具有三条边长度一致的性质；它同时也是等腰三角形的一种特殊形式。

2、等边三角形的性质：

①等边三角形的三个内角都是60°

②等边三角形的每条边都存在三线合一

等边三角形属于轴对称图形，具有三条对称轴，每条对称轴都经过顶点与对边中点，三条对称轴重合为同一直线

4、等边三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形

②三个角都相等的三角形是等边三角形

③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

在直角三角形里，当其中一个锐角为30度时，该角对面的直角边长度是斜边长度的一半。

六、最短路径问题

注意：基础薄弱的学生掌握前5种即可。

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第十四章：整式乘除与因式分解

一、整式的乘法

1、同底数幂的乘法：（m,n都是正整数）

即：同底数幂相乘，底数不变，指数相加

2、幂的乘方：（m,n都是正整数）

即：幂的乘方，底数不变，指数相乘

3、积的乘方：（n是正整数）

即：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘

4、整式的乘法：

两个单项式相乘时，需要将它们的系数相乘，相同字母的指数相加，而只出现于一个单项式中的字母，则保留其指数并作为积的一个因子，这种计算方法适用于所有单项式相乘的情况。

进行单项式同多项式相乘运算时，需要逐项实施乘法，即将单项式分别同多项式中的各项相乘，然后汇总这些乘积的结果，最终得到总和

多项式同多项式相乘时，需先以其中一个多项式的各项分别乘以另一个多项式的各项，然后将所有计算出的乘积结果进行累加求和

二、乘法的公式

1、平方差公式： (a+b)(a-b)=a²-b²

即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差

2、完全平方公式：

两个数的和的平方等于第一个数的平方加上两个数乘积的两倍再加上第二个数的平方,两个数的差的平方等于第一个数的平方减去两个数乘积的两倍再加上第二个数的平方

两个数的总和的平方，等于它们各自的平方数相加，并且加上它们相乘之后的结果的两倍，或者两个数的总差值的平方，等于它们各自的平方数相加，并且减去它们相乘之后的结果的两倍

3、添括号：

①如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号

②如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号

三、整式的除法

同底数的幂相除时，前提条件是底数不能为零，并且两个指数都是正整数，同时要求被除数的指数要大于除数的指数，这样的运算是允许的。

即：同底数幂相除，底数不变，指数相减

2、规定：

即：任何不等于0的数的0次幂都等于1

3、整式的除法：

单项式相除时，需要分别处理系数和同底数幂，将它们各自相除得到商的因式，对于只存在于被除式中的字母，则应将这个字母连同它的指数一起视为商的一个因式

多项式除以单项式时，需要将多项式中的每一项分别除以该单项式，然后把得到的各个结果加起来

四、因式分解

1、因式分解的定义

将一个多项式拆解为若干个整式相乘的形态，这种操作称为对该多项式进行因式分解。

注意：

分解的目标是多项式，分解的产物必须是乘积形态，而且乘积的因子必须是整式，这三个条件都不能缺少

②因式分解必须是恒等变形

③因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止

2、因式分解与整式乘法的内在的关系

分解多项式与多项式乘法是彼此相反的转换，前者将和或差转变成积，后者则将积转变成和或差

3、因式分解的常用方法

(1)提公因式法

①掌握提公因式法的概念

②提公因式法的关键是找出公因式。

公因式的构成一般情况下有三部分：

系数一各项系数的最大公约数

字母—各项含有的相同字母

指数—相同字母的最低次数

③提公因式法的步骤：

第一步是找出公因式

第二步是提取公因式并确定另一因式

分解出共同因子之后，剩余部分的元素个数要和开始的多项式中的元素个数相同，这个标准可以用来判断有没有遗漏元素

④注意点：

①提取公因式后各因式应该是最简形式

多项式的首项系数为负数时，通常需要提取出负号，以便括号内首项的系数变为正数

公式法就是借助公式进行因式分解，其实质是将整式里的乘法公式进行逆向运用

常用的公式：

①平方差公式：a²－b²＝ (a＋b)(a－b)

②完全平方公式：a²＋2ab＋b²＝(a＋b)²

a²－2ab＋b²＝(a－b)²

(3)十字相乘法：

通过十字叉来拆分这种二次三项式，有助于进行因式分解，这种技巧称作十字相乘法

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第十五章：分式

一、分式的概念

1、分式的定义

通常情况下，当A与B代表两个整数，并且B里面包含变量时，表达式A除以B被称作分式，其中A是分子部分，B是分母部分。

2、与分式有关的条件

①分式有意义：分母不为0(B≠0)

②分式无意义：分母为0(B=0)

③分式值为0：分子为0且分母不为0(A=0 B≠0)

分式结果为正数，或者其值大于零，当且仅当分子和分母具有相同的符号，即分子和分母都为正数，或者分子和分母都为负数

分式值若为负数，或小于零，则分子分母符号相反，即A为正B为负，或A为负B为正

⑥分式值为1：分子分母值相等(A=B)

⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数(A+B=0)

3、分式的基本性质

分数的分子和分母同时乘上或者除以一个不等于零的多项式，分数的值不会改变。

字母表示：(其中A、B、C是整式，C≠0)

运用分式的基本性质时，必须留意C不可以等于零这个约束，同时也要考虑到B也不等于零这一隐含的要求。

分式中的分子部分、分母部分以及分式整体所带有的正负符号，若任意交换其中两个，分式的最终计算结果将保持一致，也就是说：

二、分式的运算

1、分式的约分

分式约分是指依据分式的基本性质，将分子和分母的共同因子消除掉的过程。

进行因式分解，分子和分母分别拆解成因式形式，接着找出公共因子，从分子和分母中相互抵消掉相同的部分。

(3)注意：

分式的分子和分母若都是单项式，就能直接进行约分，先约去分子和分母系数的最大公约数，再约去分子分母共同因子的最小次方。

多项式的分子和分母在化简时，应当先实施因式分解步骤，然后进行约简操作。

2、最简分式的定义

一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

3、分式的通分

化异分母分式为同分母分式时，要遵循分式的基本性质，确保转换后的分式与原分式等值，这个过程称为分式的通分。

②分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

取各分母所有因式的最高次幂相乘，得到一个通用的分母，这个通用的分母被称为最简公分母。

5、确定最简公分母的一般步骤：

①取各分母系数的最小公倍数

单个字母，或带字母的式子，其幂的因式，连同它的指数，算作一个因式

③相同字母(或含有字母的式子)的幂的因式取指数最大的

④保证凡出现的字母(或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取

注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

6、分式的四则运算与分式的乘方

①分式的乘除法法则：

分数相乘时，分子部分需要将两个分数的分子相乘，分母部分也需将两个分数的分母相乘，最终结果是将这两个乘积分别作为结果的分子和分母。计算过程可以写成，分子相乘的积作结果的分子，分母相乘的积作结果的分母。

分数相除：需要将除数的分子和分母互换次序，然后同被除数相乘。运算过程记作：

②分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：

③分式的加减法则：

同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：

异分母分式进行加减运算时，需要先进行通分，将它们转化为具有相同分母的形式，然后再执行加减操作。用公式表达如下：

整式和分式相加减时，可以视整式为单一数值，若整式前有负号，需加括号处理，将其视为分母为1的分数形式，然后进行通分步骤。

分式混合运算遵循特定顺序,先执行乘方运算,然后处理乘除,最后进行加减。同等级别的运算按照从左到右的顺序进行,即先算前面的。含有括号的表达式,需要优先计算括号内的部分。解题时需注意灵活运用规则,以提升计算结果的准确性。

运算时，务必清楚每步转换的目标和理由，解题步骤需严谨，不可随意省略环节，以便核对是否存在偏差或查找失误的根源。

加减后得出的结果一定要化成最简分式(或整式)

三、分式方程

1、分式方程的解的步骤：

先找到所有分母的最小公倍数，然后同时将这个数乘到方程的每一侧，从而消去分母，注意这样可能会引入多余的解，需要最后进行检验。

(2)解整式方程，得到整式方程的解。

(3)检验。把所得的整式方程的解代入最简公分母中：

当公分母等于零时，原方程没有解，这个未知数的数值是原方程的增根。

②如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

2、产生增根的条件是：

①是得到的整式方程的解

②代入最简公分母后值为0

3、列分式方程

基本步骤：

①审—仔细审题，找出等量关系

②设—合理设未知数

③列—根据等量关系列出方程(组)

④解—解出方程(组)，注意检验

⑤答—答题