虚数：数系伟大发现，引入之路坎坷却非偶然

作者：逆蝶，哆嗒数学网群友，就读于中国科学技术大学

虚数，堪称数系发展史上的一项重大突破，然而，无理数发现过程中的波折，也同样体现在虚数的引入历程上，过程充满艰辛。虚数刚面世的时候，曾让数学界感到十分迷茫，有人觉得虚数毫无价值，纯属臆想，飘渺不定，就连不少顶尖数学家，也对虚数持怀疑态度。

莱布尼茨有言在先：虚数是神明隐匿的精妙而罕见的藏身之处，它或许在真实与虚假之间能够两栖生存。

虚数并非凭空出现的一种难以捉摸的概念。三次方程求根曾是一个困扰数学界许久的核心难题，无数学者为之奋斗。最终，在十六世纪，意大利数学家塔塔里亚找到了这一问题的求解方法。他的发现使得虚数的应用转化为一个切实的数学课题，不再局限于抽象的符号推演。不承认虚数的存在，就意味着无法求解三次方程的根。

虚数面世之后，法国数学家棣莫佛归纳出著名的棣莫佛公式，欧拉用字母i代表负一的平方根，将i当作虚数的基准，挪威测量学家韦塞尔尝试为虚数提供直观的几何说明，高斯针对复素数开展了一系列的探究。此外还有柯西和阿贝尔的贡献，以及复变函数学的奠基，复数理论才逐步变得完整和体系化，慢慢被数学家所认可。

复数z由两个实数构成，组成有序对形式，写作z=x+yi，其中i代表虚数单位。在表达式z=x+yi中，x部分称为实数部分，记作Re(z)，而y部分称为虚数部分，记作Im(z)。如果虚数部分的值为零，那么复数z就等同于实数。如果虚数部分不为零，但实数部分为零，那么复数z就属于虚数范畴，也称作纯虚数。

虚数a加b乘根号下i与虚数c加d乘根号下i的相加运算结果为a加c再加括号b加d乘根号下i再加括号

乘法运算中，括号内两个复数相乘，结果由两部分组成，实部是第一个括号实数与第二个括号虚数的乘积减去第一个括号虚数与第二个括号实数的乘积，虚部是第一个括号实数与第二个括号实数的乘积加上第一个括号虚数与第二个括号虚数的乘积，最后虚部后面加上i符号

依据虚数单位的基本性质可知其平方等于负一，通过验证可以发现复数间的计算方法和实数间的运算规律大体一致，只是在计算环节需要额外考虑虚数单位带来的影响。

复数z可以看作平面上的一个点或者一个向量，其坐标为x和y，那么z的大小为x的平方加上y的平方再开平方根，这个值被称为z的模，用符号|z|表示。z'是z关于x轴的镜像，形式为x减去yi，这个z'被称为z的共轭复数。可以证明z乘以z'等于z模的平方。复数的加法运算和向量加法是相同的操作。

记r等于z的模，t是z与x轴正方向形成的角度，称作z的辐角，由此得到x等于r乘以cos t，y等于r乘以sin t，进而可以写成z等于r乘以cos t加上i乘以sin t，这就是复数z的三角形式。欧拉证明了e的it次方等于cos t加上i乘以sin t，因此也可以写成z等于r乘以e的it次方，这被称为z的指数形式。

乘以复数的运算可以用三角式或者指数式来表示，这种方法很便捷。借助三角函数的计算，能够轻易证明如果z等于r乘以e的i乘以t次方，w等于p乘以e的i乘以s次方，那么z乘以w就等于r乘以p乘以e的i乘以t加s次方。这表明，两个复数相乘后所得的复数，它的绝对值是这两个复数绝对值的乘积，它的角度是这两个复数角度的总和。因此，w与z相乘，就是将w的尺寸放大到原先的r倍，同时，让w向左转动角度t。

根据指数函数与三角函数的关系式e的π除以2次方等于余弦函数的π除以2加上虚数单位乘以正弦函数的π除以2，并且这个值等于虚数单位，可以推导出一个结论，即任意一个复数与虚数单位相乘的结果，会得到另一个复数，这个新复数在复平面上对应的位置，是原复数逆时针旋转九十度后的位置，由此可以证明复数不仅具有代数属性，同时也具备空间几何的内涵。

复数可以用矩阵形式展现，除了其他表达方式，复数z等于x加yi，可以写成特定矩阵形态。

验证复数加法与矩阵加法之间的一致性十分便捷，复数乘法与矩阵乘法之间的一致性也同样容易确认，更令人意想不到的是，这类矩阵在乘法运算中竟然满足交换律。复数的绝对值正好等于矩阵行列式的平方根，复数的共轭正好对应矩阵的转置。此外还能揭示如下图中所呈现的等价性。

当r等于一，也就是z等于e的i乘以t次方时，z与一个复数w相乘，等于将w沿着逆时针方向转动角度t。依照这个逻辑，把z对应的矩阵（如下图所示）称作转动矩阵。

复数进行相减运算时，其结果是两个实部相减再加上虚部相减乘以虚数单位i，即(a+bi)减去(c+di)等于(a-c)+(b-d)i。在处理除法运算时，依据模长的平方性质zz'=|z|²，可以推导出倒数表达式为1/z等于z'除以模长的平方，即z'/|z|²。这启发我们能够将复数的除法运算定义为商乘以被除数的共轭再除以模长的平方，即w/z等于w乘以z'再除以|z|²。

这些复数形成了一个整体，称作复数域，它建立在实数域之上。复数域具备一个关键性质，即任何带有复数系数的多项式方程，在此域内都能找到解，这一结论被称为代数基本定理。历史上，首次为n次多项式方程总存在根这一命题提供严谨证明的，是高斯在1799年完成的博士研究工作。

高斯整数可以初步说明一下，它们是具备特定形式的复数，这种形式为m加n乘以i，其中m和n都是整数。与素数类似，当一个高斯整数m加n乘以i能够表示成a加b乘以i乘以c加d乘以i的形式时，那么a加b乘以i或者c加d乘以i这两个数中，必定有一个是1，负1，i或者负i中的一个，在这种情况下，m加n乘以i就被称作复素数，或者高斯素数。关系式5等于1加2i乘以1减2i，表明素数5不是复素数，因此并非所有素数都是复素数。判断一个复整数是否为复素数，比判定一个整数是否为素数更为复杂。类似整数的算术基本定理，复整数也能分解为复素数的幂的乘积。

实数集扩展到复数集取得突破性进展，引发众多数学家思考复数集进一步拓展，通常称作超复数，而哈密顿是这方面成就最为卓著的学者

哈密顿阐释了多元素的定义，这帮助他更明确地研究超多元素的问题。他最初尝试寻找具有三个维度的数，并且希望这些数具备某些实数和复数的特性。在持续多年的探索之后，哈密顿不得不做出两项调整，首先是他构建的新数包含四个维度，其次是他不再坚持乘法满足交换原则。他将这种新型数体系命名为四元数，而关于三元数无法成立的事实，直到后来才逐渐被人们认识。

四元数属于一种基础的超复数类型，复数由实数部分与虚数单位i构成，并且虚数单位i的平方等于负一。哈密顿在研究复数体系的基础上，进一步拓展其概念，同时增设了两个额外的虚数单位j和k，并规定了这些虚数单位的平方值均为负一。

四元数q由四个实数构成，包含x, y, z, w四个分量，表示为q=x+yi+zj+wk。四元数的加法运算遵循复数加法的规则，即分量之间直接相加。以p=a+bi+cj+dk和q=x+yi+zj+wk为例，它们的和为p+q=(a+x)+(b+y)i+(c+z)j+(d+w)k。

规定两个四元数的乘法，可以另外确定：ij等于k，jk等于i，ki等于j，这种规定跟三维空间向量的叉乘有相似之处。根据ik等于i乘以ij，也就是i的平方乘以j，结果为负的j。由此，可以依照先前的规则推导出：ji等于负的ij，也就是负的k，kj等于负的jk，也就是负的i，ik等于负的ki，也就是负的j。

虚数单位乘法不具备交换性质，因为ij与ji不相等。再者，若将i,j,k三者互换，运算公式依然成立，表明它们彼此地位相同，没有哪个虚数单位比其他更突出。比如，四元数q能够表示为x+zj+wk+xi，这样z就能被安排在第二个分量上。

与复数相似，将q看作四维空间里的一个点或向量，包含分量x、y、w、k，那么q的大小为sqrt{x²+y²+z²+w²}，这个值被称为四元数q的范数，用|q|表示。q'可以定义为x-yi-zj-wk，它是q关于x轴的镜像，称作q的共轭四元数。可以证明qq'等于|q|的平方。四元数的加法运算，本质上就是四维向量间的加法操作。

四元数在三角形式上不如复数便利，指数形式也欠佳，仅有一种较为繁复的三角形式，即方向余弦q=r(cosα+icosβ+jcosγ+kcosθ)，其中α，β，γ，θ代表q与四个坐标系的交角，r=|q|为q的量级，然而这种形式无法像复数的三角形式那样简化四元数乘法过程。虚数单位i,j,k还可以看作是四维空间中的转动，不过这种含义同复数转动相比，要更为深奥些。

四元数有两种矩阵表示。

第一种表述为复数矩阵形式，将q分解为x，y，z，w的线性组合，可对应为以下矩阵形式。

四元数的加法运算同矩阵的加法运算是一致的，四元数的乘法运算同矩阵的乘法运算也是一致的，四元数的长度等于矩阵行列值的平方根，四元数的共轭对应矩阵的共轭转置，还有下图所展示的对应关系，这种表达方式的另一个优势在于，当四元数q等于x加y乘以i加z乘以j加w乘以k退化成复数x加y乘以i，即c和d都等于0的时候，与先前复数的矩阵表达方式是一样的。

第二种为实矩阵形式，将q分解为x, y, z, w四个分量后，可转化为以下四阶矩阵表达。

四元数的绝对值等于矩阵行列数的开方，四元数的对偶形式是矩阵的逆置。当四元数呈现为q=x+y*i形式时，其矩阵形式由复数矩阵的上下两部分对角拼接构成。

依据k等于ij的规则，能够推算出q等于x加yi再加z乘以j再加w乘以ij，这可以写成x加yi加上z加wi乘以j的形式，将x加yi记作a，将z加wi记作b，那么q可以看作是复数对a和b的组合，不过由于四元数相乘不具备交换的特性，因此通常不会符合类似复数相乘的公式(a加bj)乘以(c加dj)等于(ac减去bd)加(ad加上bc乘以j)的模式。只有a,b,c,d为实数时，上述关系式才成立。

矩阵的乘法运算通常不具备交换特性，这一点有助于明白四元数相乘为何也不符合交换原则，因此基于四元数的代数体系被称作四元数体而非四元数域，四元数的减法运算，其合理规定就是各个分量分别相减。四元数的倒数可以用|q|的平方来表示，即qq'=|q|²，进而可以推算出1/q等于q'/|q|²，这一点和复数除法有相似之处，四元数的除法运算p/q可以理解为p和q'/|q|²的乘积。然而，四元数乘法不具备交换性，这就导致了从左到右相乘和从右到左相乘的结果不同，pq'/|q|²和q'p/|q|²显然是两个不同的值。在这种情况下，究竟应该选择哪一种乘法方式来定义除法，是一个值得探讨的问题。两种说法其实都有道理，只要把p和q之间的除法区分成左侧和右侧两种方式，也就是把除法理解为(1除以q)乘以p，以及p乘以(1除以q)，分别称作左除法和右除法，而不是写成p除以q的格式。

此外，还存在着涉及四元数的数系扩展，比如Cayley八元数。然而，八元数的乘法运算既不符合交换律，也不符合结合律，因此其表现相较于四元数略显逊色。除此之外，还有多种多样的数系扩展形式，对这方面感兴趣的人可以参考相关的专业资料。