向量的点乘是什么？带你了解点乘公式及几何意义推导

向量是一种数据结构，它由若干个实数构成，这些实数按照特定顺序排列；它可以是n行1列的矩阵形式，也可以是1行n列的矩阵形式；这两种形式分别表示列向量和行向量；

向量的点乘，亦称向量的内积或数量积，涉及对两个向量进行逐项相乘，然后将所有乘积相加，最终得到一个标量结果。

点乘公式

对于向量a和向量b：

a和b的点积公式为：

要求一维向量a和向量b的行列数相同。

点乘几何意义

点乘的直观作用在于能够表示两个向量之间所形成的角度，同时也能求得一个向量在另一个向量方向上的分量，其表达式为：

推导过程如下，首先看一下向量组成：

定义向量：

根据三角形余弦定理有：

根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有：

即：

向量a和向量b的长度都是可以求得的确定数值，因此可以确定a和b之间的角度θ

运用这个公式能够算出向量a与向量b的交角，进而可以判别它们是否同向，是否垂直，这些便是它们的方向关联，详细对应如下：

a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间

a·b=0 正交，相互垂直

a·b

叉乘公式

向量间的叉乘，亦称向量乘积、外向乘积、向量交乘，其运算生成一个向量而非标量数值。叉乘的运算产物，垂直于由这两个向量所界定构成的平面。

对于向量a和向量b：

a和b的叉乘公式为：

其中：

根据i、j、k间关系，有：

叉乘几何意义

在立体空间里，向量a同向量b的向量积得到另一个向量，这个向量也称作法向量，它同由a和b形成的平面正交。

在三维空间表示里，向量间交叉运算很关键，借助两个向量的交叉运算，能够得到一个同时垂直于前两个向量的法向量，借此来确立X轴，Y轴，Z轴的坐标体系，具体示意图见下图。

在平面坐标系里，向量外积存在一个不同的空间解释，即a外b的值，就是由向量a和向量b所形成的四边形的面积。

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