第一章：矢量代数、正交坐标系及矢量场与标量场相关知识介绍

第一章 一、向量运算AB=ABcosθ =ABsinθ 向量与向量叉乘满足交换律B(C´A) = C(A´B) = A(B´C) 二、三种标准坐标系1. 直角坐标系 向量分量 dx dy dz 体积微元dV = dx dy dz 单位向量间关系 2. 柱坐标系 向量分量 l 体积微元dV 单位向量间关系3. 球坐标系 向量分量dl = erdr + eq rdq + ej rsinq dj 向量面积微元dS = er r2sinq dq dj 体积微元 单位向量间关系三、向量场的两个基本度量1. 穿透量与发散度 2. 环积与旋度 3. 具体算法 4. 向量场的两个重要定理 四、标量场的方向导数1. 方向导数定义

与梯度相关,存在一个特定的计算公式,这属于第五部分的内容,其中还包含了无散场和无旋场的讨论,无散场作为其中的一种情况,而无旋场则是另一种情况,接下来是第六部分,主要介绍拉普拉斯运算算子,这个算子可以在直角坐标系下应用,也可以在圆柱坐标系下应用,或者是在球坐标系下应用,第七部分则是亥姆霍兹定理,该定理指出,如果一个矢量场F在无限区域中处处是单值的,并且其导数是连续且有界的,那么当矢量场的散度和旋度,也就是矢量场在有限区域V边界上的分布,被给定之后,这个矢量场F就会被唯一确定下来,这一定理与第二章中介绍的内容有关,第二章主要讨论麦克斯韦方程组,其中第一部分涉及静电场,在真空中,静电场的场与位有特定的表达式,而在介质中,还需要考虑极化现象,第二部分讨论恒定电场,其中电荷守恒定律是基础,传导电流和运流电流是两种不同的电流形式,恒定电场方程描述了这一现象,第三部分是恒定磁场,在真空中,磁场与位也有特定的表达式,在介质中,需要考虑磁化效应,第四部分是电磁感应定律,第五部分是全电流定律和位移电流,全电流定律是其中的核心内容,位移电流则是其重要组成部分,最后是麦克斯韦方程组,这是整个理论体系的基础。

电离现象 第二部分 电与磁的相互关系 第三部分 边界状况1. 基本方程式2. 理想导体表面和理想介质分界面 第三章第一部分 静电场研究1. 位函数的方程式与边界状况 位函数的方程式： 电位值的边界状况：（第二种介质是导体）2. 电容的界定： 两个导体之间的电容： 任意两个导体系统电容的计算方式：3. 静电场中所储存的能量 多个导体： 连续分布的电荷： 电场能量密度：第二部分 恒定电场研究1. 位函数的微分方程式与边界状况 位函数的微分方程式： 边界状况： 2. 欧姆定律与焦耳定律 欧姆定律的微分形式： 焦耳定律的微分形式： 3. 任意电阻的计算 4. 静电比拟法：第三部分 恒定磁场研究1. 位函数的微分方程式与边界状况 矢量位： 标量位： 2. 电感的定义： 3. 恒定磁场

能量N个线圈：连续分布的磁场能量密度，第四章一、边值问题分类 （1）第一类边值问题：已知整个场域边界上的位函数数值 （2）第二类边值问题：已知待求位函数在边界上的法向方向导数 （3）第三类边值问题：已知边界上的位函数及其方向导数的线性叠加 （4）自然边界条件：有限值二、唯一性原理 静电场唯一性原理：在给定边界条件（边界上的电位值或边界上的法向方向导数或导体表面电荷分布）情况下，空间静电场被唯一确定。静电场唯一性定理是镜像法和分离变量法的理论支撑。三、镜像法 根据唯一性定理，在维持边界条件不变的情况下，可以引入等效电荷；空间中的电场由原始电荷和所有等效电荷产生的电场组合而成。这些等效电荷被称为镜像电荷，这种求解方式叫做

镜像方法需要注意的事项：镜像电荷的位置要设置在求解区域的边界外侧；镜像电荷（或电流）和实际电荷（或电流）协同作用，目的是维持原有的边界条件不受影响。点电荷和无限大接地导体平面形成镜像对称关系，这种对称分布是镜像的基本特征；点电荷对半无限大接地导体角域的镜像，是由两个半无限大接地导体平面构成的角形边界所决定的，当这个夹角为整数时，角域内部点电荷会对应出(2n+1)个镜像电荷。点电荷与接地导体球面形成的镜像，点电荷与不接地导体球面形成的镜像，均处在球心位置，电荷与电介质分界平面形成的镜像，属于四、分离变量法范畴，其中分离变量法的主要步骤包括，依据给定边界形状选择合适的坐标系，准确写出该坐标系下拉普拉斯方程的表达形式，并明确给定的边界条件，接着通过变量分离手段，将偏微分方程简化

这是一类常微分方程，需要找出含有未知常数的通解形式，然后根据特定的边界值来确定这些常数，从而得到符合边界要求的解，这种解称为特解。条件分离变量法仅适用于求解拉普拉斯方程。务必熟练理解，首先，在直角坐标系中，一维场景的解答形式为，其次，在圆柱坐标系里，一维场景的解答形式为，再者，在球坐标系下，轴对称系统的解答形式为，具体而言，第五章第一部分关于时谐场的麦克斯韦方程，包含，一是时谐场的复数表示方法，二是麦克斯韦方程，第二部分涉及媒质的分类，分类依据是，当传导电流远远超过位移电流时，此类介质被称为良导体当，传导电流与位移电流数值相仿的介质，称作半导体或半电介质介质。当，传导电流远远小于位移电流的介质，称作电介质介质。

7、或绝缘介质。三、坡印廷定理1. 时变电磁场的能量储存密度为 2. 能流密度向量瞬时坡印廷矢量表示为：平均坡印廷矢量等于：3. 坡印廷定理四、波动方程及其解1. 含源区域的波动方程形式 特解为：在无源范围，两个波动方程能够化简为齐次波动方程 复数形式-亥姆霍兹方程 ， 五、达朗贝尔方程及其解时变场的位函数达朗贝尔方程（库仑条件）复数形式 特解为：六、似稳场1. 似稳场方程特征：位移电流的强度远小于传导电流的强度（）；似稳场内不会出现自由电荷的聚集分布。缓变电磁场是随时间变化缓慢的电磁场，或者频率很低的电磁场类型。低频电路理论是缓变电磁场的一个典型范例。依据准静态方程的第一条，对其两边实施散度运算后得到（基尔霍夫

电流定律表明，位函数遵循静电场的法则，这就是所谓的“似稳”特性。（基尔霍夫电压定律）当场源与观测点的距离非常短时，可以视为准静态电磁场，此时满足（近场条件：）第六章一、基本辐射单元1. 电偶极子的远场表现： 2. 磁偶极子的传播特性： 二、辐射系统特性1. 辐射能量：电偶极子的辐射能量计算： 2. 辐射阻抗：电偶极子的辐射阻抗值： 3. 能量转换比： 4. 指向性描述：电偶极子的指向性描述为：功率指向性描述：如下图l 主辐射瓣的宽度、：两个半功率辐射方向的夹角。元天线：主辐射方向能量最强，次辐射方向能量最突出。副瓣电平：主辐射方向能量最强，第一旁瓣方向能量最突出。前后比：主辐射方向能量最强，后向辐射方向能量最突出。方向性系数：衡量天线辐射方向性的指标。

电偶极子方向性系数以分贝形式表示为 D = 10lg1.5，计算结果为1.64dB。增益方面，三、对称天线1. 对称天线的方向图函数： 2 半波对称天线： 其方向性函数为： 辐射电阻为： 方向性系数计算得 D = 10lg1.64，最终值为2.15dB。四. 天线阵1. 天线阵的概念：为优化和控制天线辐射性能，将多个天线依照特定方式组合而成的天线集合，这类系统被称为天线阵或阵列天线。天线阵的辐射特征受多种因素影响，包括组成单元的种类、总数量、布局形态、单元间的距离、驱动信号的幅度与相位，以及单元的朝向。对于由相同类型和朝向的天线单元构成，并且等间距 d 沿直线配置的阵列，所有单元的激励幅度统一为 I，但各单元的相位存在差异

这种天线阵列中相邻单元的相位依次相差固定值，称之为等相位差直线天线阵列，该阵列具有以下特征，其一，阵列的辐射方向性函数，其二，方向图相乘规则，第七章内容涉及，一节阐述沿任意路径行进的平面电磁波，其中传播方向矢量k的单位向量n，定义电磁波的前进方向。沿正z轴方向行进的均匀平面波在无界区域内的传输特性如下,其时间瞬态形式为,传播速度与波长之间存在固定比例关系,电场与磁场相位同步,振幅值保持恒定,该波型属于非色散波,且磁能密度与电能密度相等沿正z轴方向行进的均匀平面波在导电介质中的传输情况，具体表现为该波具有特定的衰减特性，表现为1.波阻抗，2.衰减系数，3.相位系数，4.传播速率，5.电磁波特性表现为T

电磁波传播时，电场与磁场之间存在相位差，振幅随距离增加而减小，表现出色散现象，并且磁场部分的能量含量超过电场部分。在良导体中，波的传播特性表现为：1. 传播常数可以近似看作某个值，2. 相速和波长之间存在特定关系，这种现象称为色散，3. 存在一个趋肤深度，这个深度决定了高频电流主要流于导体表面，因此良导体的高频交流电阻要大于其直流电阻或低频交流电阻。良导体自身的阻抗值等于：均匀平面电磁波在良导体内部传播时，磁场方向滞后于电场方向四十五度角。五、电磁波的振动方向1. 振动方向：指电场矢量朝向的方位。举例说明，存在两种同频率的电磁波，它们分别沿x轴和y轴方向振动：2. 直线振动：当两个分量的相位一致，或者相位差为固定值时，合成后的电场矢量呈现直线振动形态。圆极化：,两个分量幅度相同，相位存在特定差值，组合后的电场呈现圆极化形态。旋向判定：,为左旋；,为右旋4. 椭圆极化：,两个分量幅度不一致，相位存在差异

差异显著，合成波电场体现椭圆极化特性。六、均匀平面波对分界面的垂直入射1. 反射系数与透射系数： 2. 对理想导体界面的垂直入射反射系数为零，透射系数为负一，合成波呈现纯驻波形态3. 对理想介质界面的垂直入射合成波形成行驻波，透射波保持行波状态驻波系数为四, 对于多层介质界面, 当电磁波垂直入射时, 可以等效为三层不同的波阻抗, 通过设置四分之一波长的匹配层, 能够有效防止反射, 这是照相机镜头上涂敷层消除反射的作用原理, 同时, 半波长厚的介质窗在雷达天线罩中的应用, 也是为了消除电磁波的反射现象。七、均匀平面波在界面上的斜入射1.反射规律与折射规律 2.垂直振动波与水平振动波的回波系数和透射系数 3.全反射现象全反射的发生条件 4.全透射情形入射角度称作布鲁斯特角，以符号表示，仅针对水平振动适用

极化波情况，5. 理想导体斜向入射情形，(1) 垂直极化情形：振幅形成驻波样式，属于非均匀平面波，为TE波类型。(2) 平行极化情形：振幅同样呈现驻波样式，属于非均匀平面波，为TM波类型。第八章一、导行波系统类型工作波型名称应用波段特点TEM波传输线TEM波平行双线同轴线、带状线、微带米波、分米波低频端分米波、厘米波双导体系统金属波导TE波、TM波矩形波导、圆波导、椭圆波导、脊波导厘米波、毫米波低频端单导体系统表面波传输线混合型波介质波导、介质镜像线、单根表面波传输线毫米波均匀导波系统波导的横截面在纵向保持一致，电场和磁场分量仅受横向坐标影响，不受纵向坐标制约；波导边界为理想导电材料，内部填充为理想电介质；波导中所传输的电磁场属于无源区域内的时谐振荡场。单导体系统无法传送横电磁波，缘由在于其中不存在纵向的传导电流，亦无纵向的位移电流，这是由于系统仅含单一导体所致，而横电磁波的特征是纵向电场分量为零，进而导致纵向位移电流缺失电磁波在波导内部遵循亥姆霍兹方程，具体表现为：第一种是横电模波，第二种是横磁模波和横电磁模波。关于传输线路，存在两种电路类型，分别为集中参数电路和分布参数电路。电报方程描述了传输线路的特性。特性参数包含特性阻抗、传播常数、相速度和波长。工作参数涉及输入阻抗、反射系数、驻波比和行波比。对于矩形波导，首先求解波方程并得出解，其次分析波的传播特性，矩形波导的主要模态为TE10模，该模态的主要参数包括单模传输的条件。