高一数学知识点总结：正视图、俯视图、侧视图及斜二测画法要点

正视图能够展示物体在垂直和水平方向上的相对位置，从而揭示了物体的高度与长度信息。

俯瞰之下，可以观察到物体在左右以及前后方向上的相对位置，这实际上揭示了物体的长与宽。

侧面的视角展示了物体在垂直和水平方向上的布局，这也就意味着它揭示了物体的垂直高度以及水平宽度。

3、空间几何体直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：

①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

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直线与方程

（1）直线的倾斜角

直线的倾斜角是指x轴正方向与直线上升方向所形成的角度。在特定情况下，若直线与x轴处于平行或完全重合的状态，我们将其倾斜角设定为0度。由此可得，倾斜角的取值区间为0度及其以上。

（2）直线的斜率

倾斜角非90°的直线，其倾斜角的正切值被称为该直线的斜率，通常用字母k来表示。这个斜率是用来衡量直线相对于坐标轴倾斜程度的指标。

②过两点的直线的斜率公式：

注意下面四点：

当时，公式右侧的值没有实际意义，直线的斜率无法确定，其倾斜角度达到了90度。

（2）k与P1、P2的顺序无关；

今后计算斜率无需依赖倾斜角度，可以直接根据直线上的两个点的坐标进行计算。

（4）求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

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幂函数

1、定义：

形如y等于x的a次方（其中a是一个固定的数值）的函数，这类函数以x作为底数，以x的幂作为结果，而指数部分保持不变，这样的函数被称作幂函数。

定义域和值域：

据a的具体值来确定；当a等于1时，函数的定义域是所有正实数；而当a小于1但大于0时，函数的定义域是所有正实数，且不包括1；如果a介于0和1之间，函数的定义域同样为所有正实数，但不包括0和1。

根据q的奇偶性进行判断，若q是偶数，则x的取值不得低于0，此时该函数的定义域涵盖了所有大于0的实数；若q是奇数，那么函数的定义域则包括所有非零的实数。当x取不同的数值时，幂函数的值域表现各异：当x大于0时，函数的值域始终为正实数集合；而当x小于0时，只有当q为奇数，函数的值域才限于非零实数集合。而只有a为正数，0才进入函数的值域

2、性质：

针对a取非零有理数的情形，我们有必要将其细分为若干类别，并对每一类别的特性进行逐一探讨。

首先，我们要明确，当a等于p除以q，并且p和q都是整数时，x的p/q次幂可以表示为x的p次方的q次根。进一步地，当q为奇数时，该函数的定义域是实数集R；而当q为偶数时，该函数的定义域则是实数集R的子集。

排除了零和负数的可能性，因此，当x大于零时，a可以取任何实数的值。

排除了为0这种可能，即对于x0的所有实数，q不能是偶数；

若排除x取负数的情况，则对于所有大于或等于0的实数x，a的值必定不能为负。

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一、函数的概念与表示

1、映射

若存在两个集合A与B，并依照映射规则f进行对应，那么在集合A中的每一个元素，都能在集合B中找到与之相对应的唯一元素，这种元素间的对应关系，连同集合A、B以及映射规则f本身，统称为从集合A到集合B的映射，并记为f：A→B。

需关注映射定义的准确把握，同时掌握识别映射的具体技巧。单个元素对应多个元素的情况不属于映射，而多个元素对应单个元素则构成映射。

2、函数

构成函数概念的三要素

①定义域②对应法则③值域

两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同

二、函数的解析式与定义域

1、求函数定义域的`主要依据：

(1)分式的分母不为零;

(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义;

(3)对数函数的真数必须大于零;

(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;

三、函数的值域

求函数值域的方法

直接通过分析自变量x的变化区间，可以推导出函数y=f(x)的对应值域，这种方法适用于处理结构较为简单的复合函数。

采用换元策略，可以将函数转换成二次函数，进而求解其值域，这种方法适用于函数的根式部分和内部均为一次式的情况。

采用判别式方法，借助方程理论，根据二次方程的根的性质来确定y的取值区间；这种方法适用于分母为二次多项式且其系数属于实数集R的分式表达式。

分离常数适用于分子和分母均为一次多项式的情况，若x的取值范围有限，需绘制图形辅助说明。

⑤单调性法：利用函数的单调性求值域;

⑥图象法：二次函数必画草图求其值域;

⑦利用对号函数

通过几何方法，结合数形关系，可以将求解距离等问题的过程转化为求值域。这种方法主要应用于包含绝对值函数的情境中。

四、函数的奇偶性

设定y等于f(x)，其中x属于集合A，只要对于集合A中的任意一个元素x，该元素满足特定条件，那么我们就把y=f(x)称作偶函数。

如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为奇函数。

2、性质：

函数y等于f(x)若为偶函数，其图像在y轴两侧呈现对称；而若y等于f(x)为奇函数，其图像则与原点形成对称。

②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0

③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇

两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称

3、奇偶性的判断

①看定义域是否关于原点对称②看f(x)与f(-x)的关系

五、函数的单调性

1、函数单调性的定义：

若函数f(x)和g(x)在M域上定义，并且它们单调性相反，那么该函数在M域内表现为递减；反之，若它们的单调性一致，那么该函数在M域内将呈现递增趋势。

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1、多面体的结构特征

棱柱的构造特征表现为两个面彼此平行，而其余的各个面均为平行四边形形状，且每对相邻的四边形在它们的公共边上保持平行关系。

直棱柱的一种，其侧棱与底面成直角，而底面为正多边形的直棱柱则被称为正棱柱。若一个棱柱的底面为正多边形，且其侧棱亦垂直于底面，那么该棱柱的侧面将呈现矩形形状。

棱锥的底部构成任意形状的多边形，而其侧面则是由共有一个顶点的三角形组成。

正棱锥，其底面为正多边形，且顶点在底面正多边形的中心线上所形成的投影。此类棱锥中，若所有棱长均等，则称为正四面体。反之，若正棱锥的底面为正多边形，且顶点的投影位于底面正多边形的中心，则满足上述定义。

棱锥可以通过平行于其底面的平面进行切割，从而形成棱台，这种棱台的上下两个底面都是彼此相似的多边形。

2、旋转体的结构特征

(1)圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转一周得到。

圆锥可以通过将直角三角形围绕其一条直角边所在的直线进行旋转，从而形成。

圆台可以通过两种方式形成：一是将直角梯形围绕其直角边所在的直线旋转一周，二是将等腰梯形围绕其上底和下底中心所在的直线旋转半周；此外，圆台还可以通过平行于底面的平面切割圆锥而获得。

球体可以通过将半圆形面围绕其直径旋转一周，亦或是将圆形面围绕直径旋转半周来形成。

3、空间几何体的.三视图

空间几何体的三视图是通过平行投影技术获得的，在这种投影方式中，与投影面平行的平面图形所形成的影子，其形状和尺寸与原始平面图形完全一致。三视图具体包括正面图、侧面图和俯视图。

三视图的长度特点表现为：正视图与侧视图的高度相同，正视图与俯视图的长度一致，侧视图与俯视图的宽度相等。当两个物体的表面相接时，它们的交界线即为区分两者的界限。在三视图绘制中，需特别注意实线和虚线的绘制方法。

4、空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：

(1)画几何体的底面

在确定的图形中，选取相互垂直的x轴与y轴，这两轴在点O处交汇。在绘制直观图时，应将它们分别表示为x′轴与y′轴，同样交汇于点O′。同时，应确保∠x′O′y′的角度为45°或135°。在原图形中与x轴、y轴平行的线段，在直观图中也将保持与x′轴、y′轴的平行关系。在图形中，若线段与x轴平行，其长度在直观图中保持不变；而与y轴平行的线段，其长度则会缩短至原来的一半。

(2)画几何体的高

在已知图形中，通过点O绘制一条与xOy平面垂直的z轴，在直观图中，这条z轴对应的z′轴同样垂直于x′O′y′平面。在已知图形中，所有与z轴平行的线段，在直观图中依然保持与z′轴的平行关系，并且它们的长度保持不变。

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事物按其特定属性被归类组成一个整体，这些事物可能包括人、物品，亦或是数学中的元素。

1、分散的人或事物聚集到一起；使聚集：紧急。

2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素：有理数的。

集合论中存在众多概念，其中包括集合这一核心概念。集合是构成现代数学基础的理论要素，而专注于研究集合的理论即被称为集合论。德国数学家康托（G.F.P. Cantor，1845-1918）是集合论的先驱，他的贡献使得集合论的基本理念已广泛融入现代数学的各个分支。

集合，在数学上是一个基础概念。

基础概念指的是那些无法借助其他概念进行界定的概念。例如，集合这一概念，我们可以通过直观感知和公理化的方式来进行定义。

集合是将人们直观感受到的或思维中确定的、具有明确区分度的某些对象汇聚起来，形成一个统一的整体，亦即单体。这个整体即构成了集合。而构成这个集合的各个对象，我们称之为该集合的元素，或简称为元。

集合与集合之间的关系

将某些特定对象汇总，便构成了一个集合，该集合符号下可分为有限集与无限集两大类。其中，元素数量有限的称为有限集，而元素数量无限的则称为无限集。一个不包含任何元素的集合被称为空集，其符号表示为空。空集是所有集合的子集，同时也是所有非空集合的真子集。每个集合都是自身的子集。子集和真子集均具备传递性特点。

若集合A中的每一个元素均为集合B的元素，则称A为B的子集，表示为AB。当A不仅是B的子集，且与B不相等时，A被称为B的真子集，通常表示为AB。在中学教材中，这个符号下方还加了一个符号，但请勿混淆，考试时应以课本中的规定为准。举例来说，所有男人的集合是所有人的集合的真子集。

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一、圆的方程定义：

在圆的标准方程（x-a）²+(y-b)²=r²中，存在三个关键参数a、b、r，它们分别代表圆心的横纵坐标和半径。一旦确定了a、b、r的值，圆的方程也就随之确定。因此，为了确定一个圆的方程，我们需要三个互不依赖的条件。在这三个条件中，圆心坐标决定了圆的位置，而半径则决定了圆的大小。

二、直线和圆的位置关系：

判定直线与圆的相对位置，一种方法是采用方程的视角，即将圆的方程与直线的方程组合成一个方程组，并通过计算判别式Δ来分析它们之间的具体关系。

①Δ>0，直线和圆相交、②Δ=0，直线和圆相切、③Δ

方法二采纳了几何学的视角，通过对比圆心至直线间的距离d与圆的半径R的数值。

①dR，直线和圆相离、

直线与圆相切时，解决这类问题的关键在于求取圆的切线方程。这种方程的求解通常有两种情况：一是已知切线的斜率k，二是已知切线上的一个特定点。进一步地，已知切线上的点又可细分为位于圆上和位于圆外两种不同情况。

3、直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题。

三、切线的性质

⑴圆心到切线的距离等于圆的半径；

⑵过切点的半径垂直于切线；

⑶经过圆心，与切线垂直的直线必经过切点；

⑷经过切点，与切线垂直的'直线必经过圆心；

四、当一条直线满足

（1）过圆心；

（2）过切点；

（3）垂直于切线三个性质中的两个时，第三个性质也满足。

五、切线的判定定理

经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

六、切线长定理

在圆的外部选取一点，通过该点画出圆的两条切线，这两条切线的长度相等，且圆心与该点之间的连线恰好将这两条切线所形成的夹角一分为二。

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一、集合的概念

集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。

二、集合的表示方法

列举法：将集合中的元素一一列举出来，用大括号括起来。

例如：{1, 2, 3, 4, 5}

描述法：用集合中元素的共同特征来描述集合。

例如：{x | x 是小于 10 的正整数}

三、集合的关系

若集合A内的每一个元素均包含于集合B之中，则可称集合A为集合B的子集，并以此符号“⊆”来表示。

若集合A作为集合B的子集存在，并且集合B中存在至少一个元素不在集合A之中，则称集合A为集合B的真子集，并以符号A⊊B来表示。

四、集合的运算

交集，即由同时属于集合 A 和集合 B 的所有元素所构成的集合，用数学符号表示为 A 与 B 的交集，记作 A ∩ B。

并集是指那些既属于集合A，又或者属于集合B的所有元素所构成的集合，通常用符号A ∪ B来表示。

全集 U 中，若存在子集 A，则该子集 A 的补集是由 U 中那些不属于 A 的所有元素构成的集合，这个集合我们称之为 A 在 U 中的补集，并用符号 UA 来表示。

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一、函数的概念

若存在两个非空数集 A 和 B，并且存在一个明确的映射关系 f，那么对于 A 集合中的每一个元素 x，都能在 B 集合中找到与之相对应的唯一元素 f(x)，此时我们便称这样的映射 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。

二、函数的性质

单调性

函数f(x)在其定义域I内，若任取区间D中的任意两个自变量x1和x2，只要x1小于x2，那么f(x1)的值必然小于或等于f(x2)。< x2 时，都有 f(x1) < f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数。

设函数f(x)的取值范围为I，那么，若在I中存在一个子集D，对于D中的任意两个自变量取值x1和x2，只要x1小于x2，函数f(x)的值就会小于或等于f(x2)。< x2 时，都有 f(x1) > f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数。

奇偶性

若函数f(x)的定义域以原点为中心呈对称分布，并且对于该定义域内的任意一点x，其函数值f(-x)与f(x)互为相反数，即f(-x)等于负的f(x)，则这样的函数f(x)被称为奇函数。

若函数f(x)的取值范围关于原点呈现对称性，并且在其定义域中的任意一点x，函数值f(-x)均等于f(x)，则此函数f(x)被称为偶函数。

三、函数的图像

函数的图形是对函数关系的一种直观展示，借助图形，我们可以更加直观地把握函数的特性和特征。

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一、指数函数

一般而言，若存在一个函数y，其表达式为y等于a的x次幂（其中a的值大于0且不等于1），则该函数被称作指数函数。

性质：

当 a > 1 时，函数在定义域内单调递增；当 0 < a < 1 时，函数在定义域内单调递减。

函数的.图像恒过定点(0, 1)。

二、对数函数

若 a 的 x 次方等于 N（前提是 a 大于 0 且 a 不等于 1），则称 x 为以 a 为底 N 的对数，并记作 x 等于 logaN。而 y 等于 logax（同样要求 a 大于 0 且 a 不等于 1）这一函数，我们称之为对数函数。

性质：

当 a > 1 时，函数在定义域内单调递增；当 0 < a < 1 时，函数在定义域内单调递减。

函数的图像恒过定点(1, 0)。

三、指数函数与对数函数的关系

它们互为反函数，图像关于直线 y = x 对称。

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一、幂函数的`定义

二、常见的幂函数

等式y等于x，y等于x，y等于x的平方根，y等于x的倒数等。

三、幂函数的性质

幂函数的图像都过点(1, 1)。

当 α > 0 时，幂函数在

0, +∞)上单调递增；当 α < 0 时，幂函数在(0, +∞)上单调递减。

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一、角的概念

正角、负角、零角。

象限角指的是，当角的顶点与坐标原点完全重合，且角的起始边与x轴的正半部分相吻合时，若该角的结束边位于哪个象限，则该角便被定义为该象限的角。

二、弧度制

定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。

弧度与角度的换算：180° = π 弧度。

三、任意角的三角函数

定义如下：在角α的终边上取任意一点P，其坐标表示为(x, y)，该点到原点的距离记为r，此时有sinα等于y除以r，cosα等于x除以r，tanα等于y除以x。

三角函数值在各象限的符号。