初一平面直角坐标系知识点总结，为学习函数奠定基础

严禁擅自更改专业术语，确保表述准确无误，同时遵循既定规范。

今日为初一年级学生汇编了“平面直角坐标系”的要点归纳，此章节难度并不高，但学生需熟练掌握各知识点的具体内容，这对他们今后学习函数知识，打下坚实的基础至关重要。

1 平面直角坐标系

在二维空间中，若绘制两条相互垂直且以原点为交点的数轴，则可构成一个平面直角坐标系。x轴，亦称水平数轴，通常以向右为正；y轴，即垂直数轴，其正方向为向上；这两个轴的交汇处构成了平面直角坐标系的原点。需要注意的是，在绘制直角坐标系时，应确保两轴相互垂直，并共享一个原点，常规做法是以向右和向上分别作为两轴的正方向。平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的。

2 已知点的坐标找出该点的方法

以数轴上横坐标和纵坐标所对应的点为垂足，绘制与x轴和y轴垂直的直线，这两条垂线的交汇处便是目标点的位置。

3已知点求出其坐标的方法

从该点向x轴和y轴各引一条垂线，这两条垂线的交点在x轴上的位置即为该点的水平位置坐标，而在y轴上的交点则对应该点的垂直位置坐标。

4各个象限内点的特征

第一象限：（+，+）点P（x,y），则x＞0,y＞0；

第二象限：（-，+）点P（x,y），则x＜0,y＞0；

第三象限：（-， -）点P（x,y），则x＜0,y＜0；

第四象限：（+，-）点P（x,y），则x＞0,y＜0；

5坐标轴上点的坐标特征

在x轴上的位置，其纵坐标数值为零；而在y轴上的位置，其横坐标数值为零；至于原点，其坐标具体表现为（0，0）。这些位于坐标轴上的点，并不归属于任何一个象限。

6点的对称特征

已知点P(m,n),

关于x轴的对称点，其坐标表现为(m, -n)，其中横坐标保持不变，而纵坐标则取相反数。

关于y轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号

关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号

7平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征

平行于x轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；

平行于y轴的直线上的任意两点：横坐标相等。

8各象限角平分线上的点的坐标特征

第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。

点P在第一、三象限坐标轴夹角平分线上的对称点，其坐标为(b, a)。

第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。

点P在第二、四象限坐标轴夹角平分线上的对称点，其坐标可表示为(-b,-a)。

9点P（x,y）的几何意义

点P（x,y）到x轴的距离为 |y|，

点P（x,y）到y轴的距离为 |x|。

10点到坐标轴与原点的距离

已知点P(a,b)，则

点P与x轴之间的距离等于绝对值b；点P与y轴之间的距离等于绝对值a。

（3） 点P到原点O的距离为PO＝

11平面上两点间的距离公式

⑴设

特别地，

⊥x轴时，

⊥y轴时，

⑵.线段的中点坐标公式

，线段

的中点M(x,y)，

12点的平移特征

在平面直角坐标系中，

将坐标点（x,y）沿右侧方向移动a个单位距离，便能得到新的坐标点（x-a，y）。

将点（x,y）沿左侧方向移动a个单位距离，即可得到新的点坐标（x+a，y）。

将坐标点（x,y）沿垂直方向上移b个单位距离，便能得到新的坐标点（x，y+b）。

将坐标点（x,y）沿垂直方向下移b个单位距离，即可得到新的坐标点（x，y－b）。

进行图形平移时，图形中各个点的位置坐标都会随之发生调整；同样地，通过观察图形上点坐标的增减变动，我们也能推断出图形所经历的平移情况。

能力提升类

例1 已知：点

，且点

到两坐标轴的距离相等，求

点坐标。

一点通：点到坐标轴的距离表示长度，加绝对值列方程。

解：

解得，

所以，

点坐标为

点评：本题容易忽视距离的表示，造成丢解。

例2 已知点

，那么点M在平面直角坐标系中的什么位置？

在分析点M的横坐标时，需注意其中包含平方项，需考虑平方数的非负特性；同时，对于点M的纵坐标，需要根据n的取值范围进行讨论，并判断其与零的大小关系。

解：

根据分类讨论：

时，点M在第一象限；

时，点M在x轴的正半轴上；

时，点M在第四象限。

在评价点M在平面直角坐标系中的具体位置时，需探讨该点的横坐标和纵坐标与坐标原点（0点）之间的相互关系。

已知点A、B、C的坐标分别是（－5，0）、（3，0）、（1，4），我们需要根据相关结论来计算线段AC和BC的中点D、E的坐标，同时还要分析线段DE与线段AB之间的相对位置。（提示：若点P、Q的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），那么线段PQ的中点坐标可以表示为（（x1+x2）/2，（y1+y2）/2）。）

。）

依据提供的中点计算公式，计算中点D与E的具体坐标值，同时需考虑它们之间可能存在的平行或垂直等特殊空间位置关系。

解：由“中点公式”得

因为DE为ABC的中位线，所以DE∥AB。

本题的解答需依据所提供的中点公式，结合教材中的相关知识进行，这属于一种探索未知领域的问题类型。

综合运用类

在平面直角坐标系里，那些横纵坐标均为整数的点被称作整点。仔细审视图中每个正方形（以实线表示）的四周，数一数每条边上整点的数量。据此，你可以推测，由内而外数，第10个正方形四周的整点总数为_______个；同理，第n个正方形四周的整点总数为_______个。

一点通：首先观察由内而外数起的第一个正方形，其四条边上的整数点共有四个。

第2个正方形（实线）四条边上的整点个数是8个，

第3个正方形（实线）四条边上的整点个数是12个，

发现规律为4的倍数关系……

第10个正方形的四条边中，每个边上都有10个整点，所以总共是40个整点。

第n个正方形（实线）四条边上的整点个数共有4×n=4n个；

点评：发现规律是解此类题的关键。

请设计一套描述该动物园各景点具体位置的方案，并附上相应的示意图进行展示。

一点通：以动物园的南门为坐标原点，建立平面直角坐标系。

解：如图，建立平面直角坐标系。

因此，位于A点的两栖动物馆标号为4，1；位于B点的飞禽馆标号为3，4；位于C点的狮子馆标号为负4，5；而位于D点的马馆标号为负3，负3。

本题目属于常见题型，准确构建直角坐标系对于解题至关重要。

思维拓展类

例6 在平面直角坐标系中，已知：

在x轴上确定点C，使得

最小。

一点通：作点B关于x轴的对称点B'，连接

与x轴的交点为所求点C。

解：如图，作点B关于x轴的对称点B'，连接

，其与x轴的交点为C。

所以点C坐标为：

在解答这道题目时，我们首先要解决的是两条线段之和最短的问题，通常的做法是先探索寻找对称点的策略。

图示展示了雷达探测到的相关目标信息，其中目标A的坐标定位为（2，90°），即点A的极坐标。那么，依据这一表达方式，我们可以推算出B、C、D、E各目标的具体位置坐标分别是多少？

图中目标A的位置指示为（2，90°），该点位于坐标系的第二圈，其横坐标对应数字2，且处于90°的方位，此时纵坐标的数值同样为90°。

解：点B在第5圈，30°角的方向上，所以B（5，30°）；

点C在第4圈，240°角的方向上，所以C（4，240°）；

点D在第3圈，300°角的方向上，所以D（3，300°）；

点E在第6圈，120°角的方向上，所以E（6，120°）。

点评：本题为探求新知类问题，一定要参考所给的知识方法解题。

如图所示，四边形ABCD的四个顶点坐标依次是：点A位于坐标（-2，8），点B位于坐标（-11，6），点C位于坐标（-14，0），点D位于坐标（0，0）。

（1）确定这个四边形的面积；

若维持ABCD四个顶点原有的纵坐标不变，同时将它们的横坐标各加2，那么计算得到的四边形面积将会是多少呢？

一点通：求不规则图形的面积，考虑割补法。

解：将四边形分别割成直角三角形和长方形。

SABE的值为9，SBCG的值为9，SAFO的值为8，长方形BEFG的面积为54。

因此，四边形ABCD的面积等于SABE、SBCG、SAFO以及长方形BEFG面积之和，总计为80。

若将ABCD四个顶点的纵向位置维持原状，同时将它们的横向位置各向外扩展2个单位，图形的尺寸与轮廓将保持不变，只是整体位置发生了移动。因此，这个四边形的面积依旧保持在80平方单位。

评析：本题目着重评估了割补法这一解题技巧，同学们不妨思考一下，是否还存在其他可供选择的割补策略呢？

1. 点到x轴、y轴的距离易混淆。

2. 分清x轴、y轴上的点的特征。

3. 求不规则的三角形或四边形的面积时多考虑割补法。

4. 坐标的左、右和上、下平移，确定点的变化规律和方法。

在解决寻找规律的问题时，可以运用渗透观察、归纳总结、类比推理以及概括提炼等多样化的方法，同时结合数形结合的思维方式来进行解题。

按照图示的排列规则，将正整数依次排列，若以有序实数对（n，m）来标识第n排中从左至右的第m个数，例如（4，2）对应的是数字9，那么要找出表示数字58的有序数对是（）。

D. 在编号9和编号11之间，编号9位于编号11之前。

依据排列的规则，我们可以发现，从数字1开始，每一排的数字数量都等于该排的序号，且按照蛇形顺序依次递增。例如，第一排有1个数，第二排有2个数，第三排有3个数，第四排有4个数。遵循这一规律，我们便能够推导出相应的结论。

通过观察图表所展示的规则，我们可以得出1至10的和为55，因此58位于第11行；在偶数行中，数值从左至右逐渐减小，而在奇数行中，数值则是从左至右逐渐增大，据此推断，58应当位于第11行的第三个位置，故正确答案为A。

本点评着重评估了学生在解读图表时发现规律的能力，准确识别数列中数据排列的规律是解决问题的关键。

（答题时间：60分钟）

一、选择题

1. 在平面直角坐标系中，点（－2，4）所在的象限是（ ）

A. 位于第一象限 B. 属于第二象限 C. 处于第三象限 D. 在第四象限

点A位于坐标（5，y1），点B位于坐标（2，y2），若这两个点均位于直线y＝－x上，那么y1和y2之间的关系是（ ）。

若y1的值不小于y2的值，则满足条件A；若y1的值恰好等于y2的值，则符合条件B；若y1的值小于y2的值，则对应条件C；而若y1的值大于y2的值，则对应条件D。

光线从坐标点A（3，3）出发，沿着路径首先穿过y轴，在y轴上的点C发生反射，之后继续前行，最终到达点B（1，0）。我们需要计算光线从A点到B点所经过的总路径长度。

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

4. 已知点A（2，0）、点B（－

以点C（坐标为0，1）为其中一个顶点，利用A、B、C三点构成平行四边形，那么第四个顶点的位置不可能位于（ ）之中。

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

5. 某二元方程的解是

，若把x看作平面直角坐标系中点的横坐

将y视为存在于平面直角坐标系中的点之纵坐标，以下哪种说法是准确的？（ ）

A. 该点（x，y）必定位于第一象限之外 B. 该点（x，y）肯定不是位于坐标轴的交点

C. y随x的增大而增大 D. y随x的增大而减小

观察图示，小颖从居住地前往莲花中学需途经一住宅区，假设该小区内道路全为南北或东西走向，那么请问，小颖若选择以下哪条路径，将无法抵达莲花中学？

A. （0，4）→（0，0）→（4，0）

B. （0，4）→（4，4）→（4，0）

C. 从区间（0，4）出发，经过（1，4）点，再到达（1，1）位置，随后抵达（4，1）点，最终到达（4，0）终点。

D. （0，4）→（3，4）→（4，2）→（4，0）

二、填空题

1. 点P（－1, 3 ）关于原点对称的点的坐标是。

点A和点B关于原点对称，意味着它们的坐标互为相反数。点A的坐标是(a, -3)，因此点B的坐标应为(-a, 3)。由于点B的实际坐标是(2, 3)，我们可以得出a的值为-2。所以，a等于-2。

若点P关于原点对称的点是（－2，3），那么该点的横坐标与纵坐标之和等于多少。

在直角坐标系里，原点O是参考点，已知A点坐标为（1，1），于x轴上选取一点P，若要使得三角形AOP成为等腰三角形，满足条件的点P的数量共有若干个。

在平面直角坐标系内，点A位于y轴上，其坐标表示为（a－1，a＋1），而另一点B的坐标则是（a＋3，a－5），据此我们可以确定点B的具体位置坐标。

三、解答题（共60分）

已知该直角梯形的上底长度为2厘米，下底长度为5厘米，且其中一个底角为30度。我们需要建立一个合适的直角坐标系，并确定图形的四个顶点坐标，进而计算出梯形的面积。

在方格纸上，我们可以看到一个“小猪”的图像，其中每个小正方形的边长均为1厘米。

（1）“小猪”所占的面积为多少？

在方格纸上绘制出“小猪”形象，并确保其相对于直线DE呈现出对称效果（仅限绘图，无需阐述具体绘制方法）。

以点G作为坐标原点，将GE所在的直线设定为x轴，GB所在的直线设定为y轴，以小正方形的边长作为单位长度构建直角坐标系，从而可以确定点A的具体坐标为（_______，_______）。

请各位同学在同一张直角坐标系内绘制，确保这两个三角形的形状一致，不过它们的面积应当有所差异。

一只兔子正沿着OP方向，即北偏东30°的角度前进。在Q点（坐标为1，），猎人设下了一个陷阱。现在的问题是，如果兔子继续保持这个方向奔跑，它是否会面临危险？这其中的原因又是什么呢？

一、选择题

1. B 2. C 3. B 4. C 5. B 6. D

二、填空题

区间（1,－3）内的数值，减去2后得到的结果是－2，再减去1后变为－1，而当数值为4时，减去4后结果为0，区间（4，－4）内的数值减去4同样得到0。

三、解答题

A（0,0）,D（5,0）,B（0,

）,C（2,

）；坐标系略；

2. （1）21.5

（2）

（3）（－4，1）

3. 答案不唯一，如图：

4.有危险，因O、P、Q三点在同一直线上.

******************

想让你的孩子在考试中出类拔萃、脱颖而出吗？