高一数学函数知识点总结：映射、函数、反函数等要点解析

高中数学中，函数是极为关键的一环，各类函数的图像和公式非常容易混淆。为了便于大家掌握，现在提供一些关于高一数学函数知识点的梳理，期望能对各位同学提供帮助。

高一数学函数知识点1

映射、函数、反函数

对应关系，映射方式，函数模型三者之间，既存在相似之处，也存在不同之处，映射关系可以看作是对应关系的一种特定形式，而函数模型又可以被视为映射关系的一种特定类型。

2、对于函数的概念，应注意如下几点：

(1)掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数.

熟练运用三种表达方式，即清单式、公式式、图形式，能够根据具体状况寻找变量之间的数学关联，尤其擅长推导出含有不同区间的函数公式。

当y是u的函数，u又是x的函数时，y通过u间接依赖于x，这种函数关系称为f和g的合成作用，其中x对应的是基础变量，u对应的是中间变量，y对应的是结果变量，g(x)实现初始转换，f(u)完成最终映射。

3、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤：

(1)确定原函数的值域，也就是反函数的定义域;

(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);

替换变量x和y的位置，形成反函数的标准形式y等于f减一x，同时标明其适用范围。

求分段函数的反函数时，需要先分别求出各段上的反函数，接着再将它们合并在一起。

掌握常见情形，需要计算f的逆函数在x0处的取值，善于运用这一结果，能够省去求反函数的步骤，进而使计算更加便捷。

高一数学函数知识点2

函数的解析式与定义域

函数与它的定义域是密不可分的整体，缺少定义域的函数实际上不存在，所以，要准确表达函数的解析式，需要在明确变量间对应关系的同时，确定函数的定义域。确定函数的定义域通常有以下三种情形：

有时候一个函数源于某个具体问题，这时自变量x具有实际含义，确定其取值范围需要参照现实情况来分析。

要确定一个函数的自变量取值范围，需要确保其表达式能够成立。举例来说，

①分式的分母不得为零;

②偶次方根的被开方数不小于零;

③对数函数的真数必须大于零;

④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;

三角函数中的正切函数y随x变化而变化，x属于实数集，并且k是整数，正切函数的值可以表示为y=tanx；余切函数y也随x变化而变化，x属于实数集，但不能是kπ的形式，其中k是整数，余切函数的值可以表示为y=cotx。

要留意，一个函数的公式由好几个片段构成时，它的值域是所有片段都有效的自变量集合的合并（也就是联合集）。

求一个函数的定义域，关键在于理解定义域的内涵，进而推算出相关函数的定义范围，需要深入分析函数的特性。

f函数的适用区间需要确定，具体来说，要找出所有符合a小于等于h(x)小于等于b的x值，这些x值就是f函数的适用范围，而当f函数的适用范围已知时，它实际上就是h(x)可能取得的所有数值，也就是h函数的值域范围。

2、求函数的解析式一般有四种情况

在处理某个具体问题时，需要构建一个函数关联，就必须选定恰当的变量，并借助数学理论来推导出函数的具体表达式。

有时候题目会提供函数的性质，要求函数的表达式，可以运用待定系数法来解，例如函数是线性函数，可以设f(x)等于ax加上b，其中a和b是需要确定的常数，依据题目中的条件，建立方程组，计算出a和b的值就能得到函数的公式。

当题目中提供复合函数f的公式时，可以通过变量替换法得到函数f(x)的公式，需要先确定g(x)的取值范围，这等同于确定函数的有效输入范围。

已知f(x)符合某个关系式，这个关系式除了f(x)是待求量外，还包含其他未知量，例如f(-x)，那么需要借助这个已知关系式，再建立其他关系式，构成一个方程组，然后通过解方程组的方法，最终推导出f(x)的具体函数形式。

高一数学函数知识点3

函数的值域与最值

函数的取值范围由其输入范围和映射规则共同决定，计算函数的取值范围时必须首先明确其输入范围，求取函数的取值范围通常采用以下几种途径：

直接法也叫做直观判断法，针对构造比较简单的函数，能够通过函数的代数表达式，借助不等式原理，直接感知出函数的取值范围。

换元法是将复杂函数通过代数式或三角换元变成简单函数来求值域的方法，如果函数解析式里有根式，当根式内是一次式，需要采用代数换元，当根式内是二次式，则应使用三角换元

反函数法是借助函数f(x)与它的反函数f-1(x)在定义域和值域方面的关联,通过确定反函数的定义域来推算出原函数的值域,像(a≠0)这类函数的值域就可以用这种方法求得.

求解二次函数或相关函数的值域时，可以运用配方法进行解答，这种方法特别适用于处理这类函数的取值范围。

(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥

a，b∈(0，+∞)

需要确定特定函数的取值范围，不过要留意约束“一个正数，两个定值，三个相等条件”等情形下，有时必须借助平方等手段。

判别式法：将y=f(x)转化为含x的一元二次方程形式，借助“大于等于0”来确定值域范围。这类题目的特点是表达式中包含根号或者分数结构。

通过函数的增减特性确定其值域范围：若能明确函数在其所有可能取值区间内（或某个特定区间内）的升降趋势，便能够运用这一特性计算出函数所能达到的所有输出数值。

通过几何视角或图形分析，借助函数的几何内涵，可以确定函数的取值范围，这种方法称为数形结合求值域。

2、求函数的最值与值域的区别和联系

寻找函数极值的基本途径和探究函数取值范围的方法大体一致，实际上，一旦函数的取值范围里出现一个最小值或最大值，这个数值便就是函数的极小值或极大值。所以探求函数的极值与取值范围，其核心内容相同，只是考察的出发点不一样，导致解决手段存在差异。

如函数的值域是(0，16

，最大值是16，无最小值.再如函数的值域是(-∞，-2

在正无穷到无穷大的区间内，该函数不存在极值，只有当自变量大于零时，其最小值才等于二。这表明函数的定义范围会决定其输出值的范围以及最值情况。

3、函数的最值在实际问题中的应用

函数的最值在解决实际问题时作用显著，具体常表现为寻求“造价最小化”，“利润最大化”或“面积(体积)的极值”等各种实际情形，计算时需特别注意现实条件对变量取值的限制，这样才能准确得到最值结果。

高一数学函数知识点4

函数的奇偶性

函数的奇偶性可以这样判定：针对函数f(x)，在它的所有取值范围内，任取一个x值，若其相反数代入函数后得到的结果与原函数值互为相反数，或者与原函数值相等，那么这个函数就归类为奇函数或者偶函数。

准确把握奇函数和偶函数的内涵，需要留意以下情形：其一，函数f(x)具备奇偶性，其定义区间必须在数轴上呈现中心对称特征，但反之未必成立；其二，f(x)与-f(x)在定义区间内始终相等，或者f(-x)与f(x)在定义区间内始终相等，这表明奇偶性是函数定义区间内的全局属性。

判断函数奇偶性的关键依据是奇偶函数的界定。为了更方便地判定函数的奇偶特征，有时需要把函数进行简化处理，或者采用定义的等价表达方式。

注意如下结论的运用：

无论f(x)属于奇函数类型还是偶函数类型，将x的绝对值代入f中所得函数必定为偶函数。

f(x)和g(x)都是定义在D1和D2这两个区间内的奇函数，那么在D1和D2的交集部分，f(x)与g(x)相加的结果仍然是奇函数，而f(x)和g(x)相乘的结果则是偶函数，与此相似，奇函数相加减的结果还是奇函数，奇函数相乘的结果是偶函数，偶函数相加减的结果还是偶函数，偶函数相乘的结果也是偶函数，奇函数与偶函数相乘的结果是奇函数

(3)奇偶函数的复合函数的奇偶性通常是偶函数;

(4)奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。

3、有关奇偶性的几个性质及结论

一个函数具备奇函数性质的必要且充分条件是它的图形呈现以原点为中心的对称性；一个函数拥有偶函数特性的必要且充分条件是它的图形展现以y轴为基准的对称性。

若函数的定义区域以零点为中心，并且函数值总是等于零，那么这个函数既是奇数函数，也是偶数函数。

奇函数f(x)在x等于零的时候有定义，那么它在零点的函数值必然为零。

如果f(x)是具有奇偶性的区间单调函数，那么奇函数在正负对称区间上的单调性跟偶函数是相反的。

当f(x)的取值范围覆盖原点的两侧时，F(x)通过将f(x)与f(-x)相加得到，并且F(x)满足偶函数的特性，即F(x)等于F(-x)；G(x)通过将f(x)与f(-x)相减得到，并且G(x)满足奇函数的特性，即G(-x)等于-G(x)

(6)奇偶性的推广

若函数y=f(x)在其定义域中任取x值均满足f(a+x)=f(a-x)，那么y=f(x)的图像会沿着直线x=a对折，这意味着f(a+x)是偶函数。当函数y=f(x)在其定义域中任取-x值时，若f(a+x)=-f(a-x)，则y=f(x)的图像会围绕点(a，0)旋转180度形成中心对称图形，这表明f(a+x)是奇函数。

高一数学函数知识点5

函数的单调性

1、单调函数

函数f(x)在指定区间内的任意两个点x1和x2，如果x1大于x2，那么f(x1)的值一定大于f(x2)的值，这表明函数的单调特性能够实现自变量的大小顺序和函数值的大小顺序之间的相互转换。

5、复合函数y=f的单调性

若u=g(x)在区间上的单调性，与y=f(u)在

g(a)，g(b)

若函数g在或b或a处的一致性相同，那么组合函数y=f将呈现上升态势；若不一致，则呈现下降态势，这被称为“一致则升，不一致则降”。

分析函数的增减变化时，通常要先将函数进行化简，转变为研究一些常见函数的增减特性。所以，熟练掌握并记住线性函数、抛物线函数、指数型函数、对数型函数的增减规律，能够显著加快我们的分析步骤。

6、证明函数的单调性的方法

按照规定展开论证,具体流程如下：先任意选取集合M中的两个元素x1、x2,然后判断x1是否大于x2,或者x1是否小于等于x2,接着根据这个比较结果,得出函数f(x)单调递增的结论;同时,若对任意x属于M,其导数f′(x)始终大于或等于0,则同样可以判定f(x)为单调递增函数

高一数学函数知识点6

函数的图象

函数的形态是函数本质的形象化表达，需要着重提升绘图、解读图形、运用图形的技能，同时要树立借助数量与形状相互关联的思路来处理难题的观念。

求作图象的函数表达式

与f(x)的关系

由f(x)的图象需经过的变换

y=f(x)±b(b>0)

沿y轴向平移b个单位

y=f(x±a)(a>0)

沿x轴向平移a个单位

y=-f(x)

作关于x轴的对称图形

y=f(|x|)

右不动、左右关于y轴对称

y=|f(x)|

上不动、下沿x轴翻折

y=f-1(x)

作关于直线y=x的对称图形

y=f(ax)(a>0)

横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

y=af(x)

纵坐标伸长到原来的|a|倍，横坐标不变

y=f(-x)

作关于y轴对称的图形